Theorem ostthlem2 25117

Description: Lemma for ostth 25128. Refine ostthlem1 25116 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))

Assertion

Ref	Expression
ostthlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		ostthlem1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostthlem1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
5		eluz2nn 11602	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘1))
7		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘1))
8	6, 7	eqeq12d 2625	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
9	8	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑦))
11		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑦))
12	10, 11	eqeq12d 2625	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
13	12	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))))
14		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑧))
15		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑧))
16	14, 15	eqeq12d 2625	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
17	16	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
18		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)))
19		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))
20	18, 19	eqeq12d 2625	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
21	20	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
22		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
23		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐺‘𝑝) = (𝐺‘𝑛))
24	22, 23	eqeq12d 2625	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
25	24	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))))
26		ax-1ne0 9884	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
27	1	qrng1 25111	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
28	1	qrng0 25110	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
29	2, 27, 28	abv1z 18655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
30	3, 26, 29	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
31	2, 27, 28	abv1z 18655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐺‘1) = 1)
32	4, 26, 31	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
33	30, 32	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34		ostthlem2.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))
35	34	expcom 450	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝜑 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
36		jcab 903	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) ↔ ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
37		oveq12 6558	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
38	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
39		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
41		zq 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑦 ∈ ℚ)
43		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
44	43	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℤ)
45		zq 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝑧 ∈ ℚ)
47	1	qrngbas 25108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
48		qex 11676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ∈ V
49		cnfldmul 19573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
50	1, 49	ressmulr 15829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (.r‘𝑄))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑄)
52	2, 47, 51	abvmul 18652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
53	38, 42, 46, 52	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
54	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → 𝐺 ∈ 𝐴)
55	2, 47, 51	abvmul 18652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
56	54, 42, 46, 55	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
57	53, 56	eqeq12d 2625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → ((𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧))))
58	37, 57	syl5ibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))) → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
59	58	expcom 450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝜑 → (((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
60	59	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
61	36, 60	syl5bir 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝜑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
62	9, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61	prmind 15237	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
63	62	impcom 445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
64	5, 63	sylan2 490	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
65	1, 2, 3, 4, 64	ostthlem1 25116	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℚcq 11664  ℙcprime 15223   ↾_s cress 15696  ._rcmulr 15769  AbsValcabv 18639  ℂ_fldccnfld 19567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-cnfld 19568

This theorem is referenced by:  ostth1  25122  ostth3  25127