Theorem nmlnoubi 27035

Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlnoubi.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nmlnoubi.k	⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
nmlnoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmlnoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnoubi.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlnoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlnoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlnoubi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem nmlnoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑍))
2	1	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑍)))
3		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑍))
4	3	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
5	2, 4	breq12d 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍))))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
7	6	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
8	7	adantll 746	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
9		0le0 10987	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
10		nmlnoubi.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		nmlnoubi.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12		nmlnoubi.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
14		nmlnoubi.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
15		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
16		nmlnoubi.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
17	12, 13, 14, 15, 16	lno0 26995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
18	10, 11, 17	mp3an12 1406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
19	18	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑀‘(0vec‘𝑊)))
20		nmlnoubi.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
21	15, 20	nvz0 26907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0)
22	11, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0
23	19, 22	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
25		nmlnoubi.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
26	14, 25	nvz0 26907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐾‘𝑍) = 0)
27	10, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾‘𝑍) = 0
28	27	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = (𝐴 · 0)
29		recn 9905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	mul01d 10114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
31	28, 30	syl5eq 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
32	31	ad2antrl 760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
33	24, 32	breq12d 4596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) ↔ 0 ≤ 0))
34	9, 33	mpbiri 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
36	5, 8, 35	pm2.61ne 2867	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
37	36	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
38	37	ralimdv 2946	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
39	38	3impia 1253	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
40	12, 13, 16	lnof 26994	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
41	10, 11, 40	mp3an12 1406	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
42		nmlnoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
43	12, 13, 25, 20, 42, 10, 11	nmoub2i 27013	. . 3 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
44	41, 43	syl3an1 1351	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
45	39, 44	syld3an3 1363	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   ≤ cle 9954  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  0_veccn0v 26827  norm_CVcnmcv 26829   LnOp clno 26979   normOp_OLD cnmoo 26980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-lno 26983  df-nmoo 26984

This theorem is referenced by: (None)