Theorem ltso 9997

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 9988	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 9993	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 4991	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 4958  ℝcr 9814   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  gtso  9998  lttri2  9999  lttri3  10000  lttri4  10001  ltnr  10011  ltnsym2  10015  fimaxre  10847  suprcl  10862  suprub  10863  suprlub  10864  infrecl  10882  infregelb  10884  infrelb  10885  supfirege  10886  suprfinzcl  11368  uzinfi  11644  suprzcl2  11654  suprzub  11655  2resupmax  11893  infmrp1  12045  fseqsupcl  12638  ssnn0fi  12646  fsuppmapnn0fiublem  12651  isercolllem1  14243  isercolllem2  14244  summolem2  14294  zsum  14296  fsumcvg3  14307  mertenslem2  14456  prodmolem2  14504  zprod  14506  cnso  14815  gcdval  15056  dfgcd2  15101  lcmval  15143  lcmgcdlem  15157  odzval  15334  pczpre  15390  prmreclem1  15458  ramz  15567  odval  17776  odf  17779  gexval  17816  gsumval3  18131  retos  19783  mbfsup  23237  mbfinf  23238  itg2monolem1  23323  itg2mono  23326  dvgt0lem2  23570  dvgt0  23571  plyeq0lem  23770  dgrval  23788  dgrcl  23793  dgrub  23794  dgrlb  23796  elqaalem1  23878  elqaalem3  23880  aalioulem2  23892  logccv  24209  ex-po  26684  ssnnssfz  28937  lmdvg  29327  oddpwdc  29743  ballotlemi  29889  ballotlemiex  29890  ballotlemsup  29893  ballotlemimin  29894  ballotlemfrcn0  29918  ballotlemirc  29920  erdszelem3  30429  erdszelem4  30430  erdszelem5  30431  erdszelem6  30432  erdszelem8  30434  erdszelem9  30435  erdszelem11  30437  erdsze2lem1  30439  erdsze2lem2  30440  supfz  30866  inffz  30867  inffzOLD  30868  gtinf  31483  ptrecube  32579  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  heicant  32614  mblfinlem3  32618  mblfinlem4  32619  ismblfin  32620  incsequz2  32715  totbndbnd  32758  prdsbnd  32762  pellfundval  36462  dgraaval  36733  dgraaf  36736  fzisoeu  38455  infrglb  38657  fourierdlem25  39025  fourierdlem31  39031  fourierdlem36  39036  fourierdlem37  39037  fourierdlem42  39042  fourierdlem79  39078  ioorrnopnlem  39200  hoicvr  39438  hoidmvlelem2  39486  iunhoiioolem  39566  vonioolem1  39571  prmdvdsfmtnof1lem1  40034  prmdvdsfmtnof  40036  prmdvdsfmtnof1  40037  ssnn0ssfz  41920