Theorem fvconst2g 6372

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6005	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 6336	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 487	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  fconst2g  6373  fvconst2  6374  ofc1  6818  ofc2  6819  caofid0l  6823  caofid0r  6824  caofid1  6825  caofid2  6826  fnsuppres  7209  ser0  12715  ser1const  12719  exp1  12728  expp1  12729  climconst2  14127  climaddc1  14213  climmulc2  14215  climsubc1  14216  climsubc2  14217  climlec2  14237  fsumconst  14364  supcvg  14427  prodf1  14462  prod0  14512  fprodconst  14547  seq1st  15122  algr0  15123  algrf  15124  ramz  15567  pwsbas  15970  pwsplusgval  15973  pwsmulrval  15974  pwsle  15975  pwsvscafval  15977  pwspjmhm  17191  pwsco1mhm  17193  pwsinvg  17351  mulg1  17371  mulgnnp1  17372  mulgnnsubcl  17376  mulgnn0z  17390  mulgnndir  17392  mulgnndirOLD  17393  mulgnn0di  18054  gsumconst  18157  pwslmod  18791  psrlidm  19224  coe1tm  19464  coe1fzgsumd  19493  evl1scad  19520  frlmvscaval  19929  decpmatid  20394  pmatcollpwscmatlem1  20413  lmconst  20875  cnconst2  20897  xkoptsub  21267  xkopt  21268  xkopjcn  21269  tmdgsum  21709  tmdgsum2  21710  symgtgp  21715  cstucnd  21898  pcoptcl  22629  pcopt  22630  pcopt2  22631  dvidlem  23485  dvconst  23486  dvnff  23492  dvn0  23493  dvcmul  23513  dvcmulf  23514  fta1blem  23732  plyeq0lem  23770  coemulc  23815  dgreq0  23825  dgrmulc  23831  qaa  23882  dchrisumlema  24977  ofcc  29495  ofcof  29496  sseqf  29781  sseqp1  29784  cvmlift3lem9  30563  ismrer1  32807  dvsinax  38801  stoweidlem21  38914  stoweidlem47  38940  elaa2  39127  zlmodzxzscm  41928