Theorem fleqceilz 12515

Description: A real number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fleqceilz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem fleqceilz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flid 12471	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2		ceilid 12512	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	eqtr4d 2647	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4		eqeq1 2614	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
6		ceilidz 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
7		eqcom 2617	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌈‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴))
8	6, 7	syl6bb 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
9	8	biimprd 237	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
11	5, 10	sylbid 229	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
12	11	ex 449	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
13		flle 12462	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
14		df-ne 2782	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
15		necom 2835	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
16		reflcl 12459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
17		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
18	16, 17	ltlend 10061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
19		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
21		ceilge 12507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
22		ceilcl 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
23	22	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
24	17, 23	lenltd 10062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
25		pm2.21 119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
26	24, 25	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)))
27	21, 26	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
29	20, 28	sylbid 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
30	29	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)))
31	30	com23 84	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
32	18, 31	sylbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
33	32	expd 451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
34	33	com3r 85	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
35	15, 34	sylbi 206	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
36	14, 35	sylbir 224	. . . 4 ⊢ (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
37	13, 36	mpdi 44	. . 3 ⊢ (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
38	12, 37	pm2.61i 175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
39	3, 38	impbid2 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ⌊cfl 12453  ⌈cceil 12454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fl 12455  df-ceil 12456

This theorem is referenced by: (None)