Theorem elnn0z 11267

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11171	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 11264	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2617	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 542	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 11265	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 222	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 393	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 399	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 198	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 727	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 905	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 9919	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 11258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 10003	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 667	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 291	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 285	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255

This theorem is referenced by:  nn0zrab  11283  znn0sub  11301  nn0ind  11348  fnn0ind  11352  fznn0  12301  elfz0ubfz0  12312  elfz0fzfz0  12313  fz0fzelfz0  12314  elfzmlbp  12319  difelfzle  12321  difelfznle  12322  elfzo0z  12377  fzofzim  12382  ubmelm1fzo  12430  flge0nn0  12483  zmodcl  12552  modmuladdnn0  12576  modsumfzodifsn  12605  zsqcl2  12803  swrdswrdlem  13311  swrdswrd  13312  swrdccatin2  13338  swrdccatin12lem2  13340  swrdccatin12lem3  13341  repswswrd  13382  cshwidxmod  13400  nn0abscl  13900  iseralt  14263  binomrisefac  14612  oexpneg  14907  oddnn02np1  14910  evennn02n  14912  nn0ehalf  14933  nn0oddm1d2  14939  divalglem2  14956  divalglem8  14961  divalglem10  14963  divalgb  14965  bitsinv1lem  15001  dfgcd2  15101  algcvga  15130  hashgcdlem  15331  iserodd  15378  pockthlem  15447  4sqlem14  15500  cshwshashlem2  15641  chfacfscmul0  20482  chfacfpmmul0  20486  taylfvallem1  23915  tayl0  23920  leibpilem1  24467  basellem3  24609  bcmono  24802  gausslemma2dlem0h  24888  clwlkisclwwlklem2a1  26307  clwlkisclwwlklem2fv2  26311  clwlkisclwwlklem2a  26313  wwlksubclwwlk  26332  knoppndvlem2  31674  irrapxlem1  36404  rmynn0  36542  rmyabs  36543  jm2.22  36580  jm2.23  36581  jm2.27a  36590  jm2.27c  36592  dvnprodlem1  38836  wallispilem4  38961  stirlinglem5  38971  elaa2lem  39126  etransclem3  39130  etransclem7  39134  etransclem10  39137  etransclem19  39146  etransclem20  39147  etransclem21  39148  etransclem22  39149  etransclem24  39151  etransclem27  39154  oexpnegALTV  40126  nn0oALTV  40145  nn0e  40146  pfxccatin12lem2  40287  zm1nn  40348  eluzge0nn0  40350  elfz2z  40352  2elfz2melfz  40355  subsubelfzo0  40359  crctcsh1wlkn0lem7  41019  crctcsh1wlkn0  41024  clwlkclwwlklem2a1  41201  clwlkclwwlklem2fv2  41205  clwlkclwwlklem2a  41207  wwlksubclwwlks  41232  nn0eo  42116  dig1  42200