Theorem elfiun 8219

Description: A finite intersection of elements taken from a union of collections. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Nov-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfiun	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Proof of Theorem elfiun

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3185	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → 𝐴 ∈ V)
3		simpll 786	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝐷)
4		simplr 788	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝐾)
5	2, 3, 4	3jca 1235	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
6		elex 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7	6	3anim1i 1241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
8	7	3expib 1260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
9		elex 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → 𝐴 ∈ V)
10	9	3anim1i 1241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
11	10	3expib 1260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
12		vex 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	12	inex1 4727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
14		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V))
15	13, 14	mpbiri 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ V)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ V))
17	16	rexlimivv 3018	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ V)
18	17	3anim1i 1241	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
19	18	3expib 1260	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
20	8, 11, 19	3jaoi 1383	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
21	20	impcom 445	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
22		simp1 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ V)
23		unexg 6857	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V)
24	23	3adant1 1072	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V)
25		elfi 8202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑧))
26	22, 24, 25	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑧))
27		simpl1 1057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ V)
28		eleq1 2676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ V ↔ ∩ 𝑧 ∈ V))
29		intex 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
30	28, 29	syl6bbr 277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝑧 ≠ ∅))
31	27, 30	syl5ibcom 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → 𝑧 ≠ ∅))
32		simp22 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
33		inss2 3796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
35		simp1l 1078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
36		simp3l 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin))
37		inss2 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ Fin
38	37	sseli 3564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
39	36, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
40		inss1 3795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑧
41		ssfi 8065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
42	39, 40, 41	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
43		elfir 8204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ Fin)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝐵))
44	32, 34, 35, 42, 43	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝐵))
45		simp23 1089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
46		inss2 3796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
48		simp1r 1079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
49		inss1 3795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝑧
50		ssfi 8065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ Fin)
51	39, 49, 50	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ Fin)
52		elfir 8204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ Fin)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ (fi‘𝐶))
53	45, 47, 48, 51, 52	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ (fi‘𝐶))
54		inss1 3795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶)
55	54	sseli 3564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶))
56	55	elpwid 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶))
57		indi 3832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) = ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶))
58		df-ss 3554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝑧 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) = 𝑧)
59	58	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑧 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) = 𝑧)
60	57, 59	syl5reqr 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → 𝑧 = ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶)))
61	60	inteqd 4415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ∩ 𝑧 = ∩ ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶)))
62		intun 4444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∩ ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶)) = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶))
63	61, 62	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶)))
64	36, 56, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶)))
65		ineq1 3769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦))
66	65	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) → (∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦)))
67		ineq2 3770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) → (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦) = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶)))
68	67	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) → (∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦) ↔ ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶))))
69	66, 68	rspc2ev 3295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝐵) ∧ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ (fi‘𝐶) ∧ ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))
70	44, 53, 64, 69	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))
71	70	3mix3d 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
72	71	3expib 1260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
73		simp23 1089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
74		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) = ∅)
75		simp3l 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin))
76		reldisj 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵)))
77	75, 56, 76	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵)))
78	74, 77	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵))
79		uncom 3719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐶 ∪ 𝐵)
80	79	difeq1i 3686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵) = ((𝐶 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵)
81		difun2 4000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐵)
82	80, 81	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐵)
83		difss 3699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐶
84	82, 83	eqsstri 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵) ⊆ 𝐶
85	78, 84	syl6ss 3580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ 𝐶)
86		simp3r 1083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ≠ ∅)
87	75, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
88		elfir 8204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶))
89	73, 85, 86, 87, 88	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶))
90	89	3mix2d 1230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
91	90	3expib 1260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
92		simp22 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
93		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) = ∅)
94		simp3l 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin))
95		reldisj 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶)))
96	94, 56, 95	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶)))
97	93, 96	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶))
98		difun2 4000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶) = (𝐵 ∖ 𝐶)
99		difss 3699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
100	98, 99	eqsstri 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
101	97, 100	syl6ss 3580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
102		simp3r 1083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ≠ ∅)
103	94, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
104		elfir 8204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵))
105	92, 101, 102, 103, 104	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵))
106	105	3mix1d 1229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
107	106	3expib 1260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
108	72, 91, 107	pm2.61iine 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
109		eleq1 2676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵)))
110		eleq1 2676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ↔ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶)))
111		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
112	111	2rexbidv 3039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
113	109, 110, 112	3orbi123d 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
114	108, 113	syl5ibrcom 236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
115	114	expr 641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)))))
116	115	com23 84	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝑧 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)))))
117	31, 116	mpdd 42	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
118	117	rexlimdva 3013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
119	26, 118	sylbid 229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
120		ssun1 3738	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
121		fiss 8213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
122	23, 120, 121	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
123	122	3adant1 1072	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
124	123	sseld 3567	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
125		ssun2 3739	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
126		fiss 8213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
127	23, 125, 126	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
128	127	3adant1 1072	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
129	128	sseld 3567	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
130	123	sseld 3567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
131	128	sseld 3567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (fi‘𝐶) → 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
132	130, 131	anim12d 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
133		fiin 8211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
134		eleq1a 2683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
135	133, 134	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
136	132, 135	syl6 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
137	136	rexlimdvv 3019	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
138	124, 129, 137	3jaod 1384	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
139	119, 138	impbid 201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
140	5, 21, 139	pm5.21nd 939	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∩ cint 4410  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ficfi 8199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200

This theorem is referenced by:  ordtbas2  20805  ordtbas  20806  fbunfip  21483  fmfnfmlem4  21571