Theorem dirkerper 38989

Description: the Dirichlet Kernel has period 2π. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkerper.1	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkerper.2	⊢ 𝑇 = (2 · π)

Assertion

Ref	Expression
dirkerper	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷‘𝑁)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dirkerper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerper.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
2	1	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = 𝑇
3	2	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (2 · π)) = (1 · 𝑇)
4		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		pire 24014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ
6	4, 5	remulcli 9933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
7	1, 6	eqeltri 2684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
8	7	recni 9931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
9	8	mulid2i 9922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
10	3, 9	eqtri 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (2 · π)) = 𝑇
11	10	oveq2i 6560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 + (1 · (2 · π))) = (𝑥 + 𝑇)
12	11	eqcomi 2619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · (2 · π)))
13	12	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
15		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	ad2antlr 759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		2rp 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
18		pirp 24017	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
19		rpmulcl 11731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
20	17, 18, 19	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
22		1z 11284	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℤ)
24		modcyc 12567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
25	16, 21, 23, 24	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
26		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
27	14, 25, 26	3eqtrd 2648	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
28	27	iftrued 4044	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
29		iftrue 4042	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
30	29	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
31	28, 30	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
32		iffalse 4045	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
33	32	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
34		nncn 10905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
35		halfcn 11124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
37	34, 36	addcld 9938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
39		recn 9905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
41	38, 40	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
42	41	sincld 14699	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
44	6	recni 9931	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
46	40	halfcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
47	46	sincld 14699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
48	45, 47	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
50		dirkerdenne0 38986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
51	50	adantll 746	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
52	43, 49, 51	div2negd 10695	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
53	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
54	20, 22, 24	mp3an23 1408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
55	53, 54	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
57		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
58	57	neqned 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) ≠ 0)
59	56, 58	eqnetrd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) ≠ 0)
60	59	neneqd 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
61		iffalse 4045	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))))
62	1	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (2 · π))
63	62	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))
64	63	fveq2i 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))))
65	62	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) / 2) = ((𝑥 + (2 · π)) / 2)
66	65	fveq2i 6106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)) = (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))
67	66	oveq2i 6560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))
68	64, 67	oveq12i 6561	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))))
69	61, 68	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
70	60, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
71	70	adantll 746	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
72	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℂ)
73	34, 36, 72	adddird 9944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))))
74		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
75		2cnne0 11119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
76		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
77		picn 24015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
78	76, 77	mulcli 9924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
79		div32 10584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2)))
80	74, 75, 78, 79	mp3an 1416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2))
81		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ≠ 0
82	78, 76, 81	divcli 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · π) / 2) ∈ ℂ
83	82	mulid2i 9922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ((2 · π) / 2)) = ((2 · π) / 2)
84	77, 76, 81	divcan3i 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · π) / 2) = π
85	83, 84	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ((2 · π) / 2)) = π
86	80, 85	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 / 2) · (2 · π)) = π
87	86	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))) = ((𝑁 · (2 · π)) + π)
88	73, 87	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + π))
89	88	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
91	38, 40, 45	adddid 9943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
92	34, 72	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
94	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → π ∈ ℂ)
95	41, 93, 94	addassd 9941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
96	90, 91, 95	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π))
97	96	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)))
98	41, 93	addcld 9938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ)
99		sinppi 24045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
101		simpl 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
102	101	nnzd 11357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
103		sinper 24037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
104	41, 102, 103	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
105	104	negeqd 10154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
106	97, 100, 105	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
107	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
108	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
109	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
110	39, 107, 108, 109	divdird 10718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)))
111	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) / 2) = π)
112	111	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)) = ((𝑥 / 2) + π))
113	110, 112	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + π))
114	113	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = (sin‘((𝑥 / 2) + π)))
115	39	halfcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
116		sinppi 24045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
118	114, 117	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
119	118	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
120	119	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
121	106, 120	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
122	121	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
123	115	sincld 14699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
124	107, 123	mulneg2d 10363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))) = -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))
125	124	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
126	125	ad2antlr 759	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
127	71, 122, 126	3eqtrrd 2649	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
128	33, 52, 127	3eqtr2rd 2651	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
129	31, 128	pm2.61dan 828	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
130	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
131	15, 130	readdcld 9948	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
132		dirkerper.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
133	132	dirkerval2 38987	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
134	131, 133	sylan2 490	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
135	132	dirkerval2 38987	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑥) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2654	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷‘𝑁)‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708   mod cmo 12530  sincsin 14633  πcpi 14636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437

This theorem is referenced by:  fourierdlem111  39110