Theorem cdleme11c 34566

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 34575. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme11.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme11.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme11.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme11.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme11.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme11c	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))

Proof of Theorem cdleme11c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1082	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
2		simp11l 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
3		simp12l 1167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simp11 1084	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		simp12 1085	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
6		simp13 1086	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
7		simp23 1089	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
8		cdleme11.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cdleme11.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		cdleme11.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11		cdleme11.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12		cdleme11.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		cdleme11.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	lhpat2 34349	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
15	4, 5, 6, 7, 14	syl112anc 1322	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
16	8, 9, 11	hlatlej1 33679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
17	2, 3, 15, 16	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
19	6, 7	jca 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄))
20		simp21 1087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊))
21		simp22 1088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
22		simp3r 1083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
23	21, 22	jca 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
24	8, 9, 10, 11, 12, 13	cdleme11a 34565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) → (𝑆 ∨ 𝑈) = (𝑆 ∨ 𝑇))
25	4, 5, 19, 20, 23, 24	syl122anc 1327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∨ 𝑈) = (𝑆 ∨ 𝑇))
26	25	breq2d 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑈) ↔ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
27		simp21l 1171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
28	8, 9, 10, 11, 12, 13	cdleme0b 34517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≠ 𝑃)
29	4, 5, 6, 28	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑈 ≠ 𝑃)
30	29	necomd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ≠ 𝑈)
31	8, 9, 11	hlatexch2 33700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑈) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑈) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
32	2, 3, 27, 15, 30, 31	syl131anc 1331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑈) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
33	26, 32	sylbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
34	33	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
35	8, 9, 11	hlatlej2 33680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
36	2, 3, 6, 35	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
37	8, 9, 10, 11, 12, 13	cdleme0cp 34519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑃 ∨ 𝑄))
38	4, 5, 6, 37	syl12anc 1316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑃 ∨ 𝑄))
39	36, 38	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
41		hllat 33668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
42	2, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
43		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
44	43, 11	atbase 33594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
45	27, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
46	43, 11	atbase 33594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
47	6, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
48	43, 9, 11	hlatjcl 33671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
49	2, 3, 15, 48	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
50	43, 8, 9	latjle12 16885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
51	42, 45, 47, 49, 50	syl13anc 1320	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → ((𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
53	34, 40, 52	mpbi2and 958	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → (𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
54	43, 11	atbase 33594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
55	3, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
56	43, 8, 9	latnlej1r 16893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑆 ≠ 𝑄)
57	42, 45, 55, 47, 1, 56	syl131anc 1331	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ≠ 𝑄)
58	8, 9, 11	ps-1 33781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈)))
59	2, 27, 6, 57, 3, 15, 58	syl132anc 1336	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈)))
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → ((𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈)))
61	53, 60	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈))
62	18, 61	breqtrrd 4611	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄))
63	62	ex 449	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
64	8, 9, 11	hlatexch2 33700	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
65	2, 3, 27, 6, 7, 64	syl131anc 1331	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
66	63, 65	syld 46	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
67	1, 66	mtod 188	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292

This theorem is referenced by:  cdleme11dN  34567  cdleme11e  34568