Theorem breldm 5251

Description: Membership of first of a binary relation in a domain. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opeldm.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
breldm	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem breldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4584	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2		opeldm.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		opeldm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	opeldm 5250	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
5	1, 4	sylbi 206	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-dm 5048

This theorem is referenced by:  funcnv3  5873  opabiota  6171  dffv2  6181  dff13  6416  exse2  6998  reldmtpos  7247  rntpos  7252  dftpos4  7258  tpostpos  7259  wfrlem5  7306  iserd  7655  dcomex  9152  axdc2lem  9153  axdclem2  9225  dmrecnq  9669  cotr2g  13563  shftfval  13658  geolim2  14441  geomulcvg  14446  geoisum1c  14450  cvgrat  14454  ntrivcvg  14468  eftlub  14678  eflegeo  14690  rpnnen2lem5  14786  imasleval  16024  psdmrn  17030  psssdm2  17038  ovoliunnul  23082  vitalilem5  23187  dvcj  23519  dvrec  23524  dvef  23547  ftc1cn  23610  aaliou3lem3  23903  ulmdv  23961  dvradcnv  23979  abelthlem7  23996  abelthlem9  23998  logtayllem  24205  leibpi  24469  log2tlbnd  24472  zetacvg  24541  hhcms  27444  hhsscms  27520  occl  27547  gsummpt2co  29111  iprodgam  30881  frrlem5  31028  imageval  31207  knoppcnlem6  31658  knoppndvlem6  31678  knoppf  31696  unccur  32562  ftc1cnnc  32654  geomcau  32725  dvradcnv2  37568