av-extwwlkfablem2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem av-extwwlkfablem2 41510

Description: Lemma 2 for av-extwwlkfab 41520. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
av-extwwlkfablem2	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺))

Proof of Theorem av-extwwlkfablem2 Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlknp 41195	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		swrdcl 13271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6	5	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9		simpl1l 1105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		uz3m2nn 11607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
12	11	ad2antlr 759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
13		0le2 10988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
14		eluzelre 11574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
17	14, 16	subge02d 10498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (0 ≤ 2 ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
18	13, 17	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
20		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
22	21	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
24	19, 23	mpbird 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤))
26		swrdn0 13282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅)
27	10, 12, 25, 26	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅)
28	8, 27	jca 553	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅))
29		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℤ)
32	29, 31	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
33		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℤ → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℤ)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℤ)
35		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
37	14, 16	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℝ)
38		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
39		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
40	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
41	39, 40	subge02d 10498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 2 ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
42	13, 41	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
43	42	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
44		lesub1 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 2) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1)))
45	43, 44	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
46	37, 14, 38, 45	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
47		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 2) − 1)) ↔ (((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1)))
48	34, 36, 46, 47	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 2) − 1)))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 2) − 1)))
50		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
51		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (#‘𝑤) = 𝑁)
52		uzuzle23 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
54		av-extwwlkfablem2lem 41507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
55	50, 51, 53, 54	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
56	55	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
57	56	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (ℤ_≥‘((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) = (ℤ_≥‘((𝑁 − 2) − 1)))
58	49, 57	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)))
59		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) → (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
60		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
61	58, 59, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
62	52	anim2i 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
63		df-3an 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
64	62, 63	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
65	64, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
66	65	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
67	66	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 − 2) − 1)))
68	67	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))))
69	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
70		fzossfz 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...(𝑁 − 1))
71	14	lem1d 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
72		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
73	36, 29, 71, 72	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
74		fzss2 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
76	70, 75	syl5ss 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
77		ige2m2fzo 12398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
78	52, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
79	76, 78	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
81		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (0...(#‘𝑤)) = (0...𝑁))
82	81	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
83	82	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
84	80, 83	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
86		elfzom1elfzo 12403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
87	32, 86	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
88	87	adantll 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
89		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖) = (𝑤‘𝑖))
90	69, 85, 88, 89	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖) = (𝑤‘𝑖))
91	90	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖))
92	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
93	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
94	92, 93	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
95	94	ad4ant23 1289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
96	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
97		elfzom1elp1fzo 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
98	96, 97	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
99		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘(𝑖 + 1)))
100	69, 95, 98, 99	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘(𝑖 + 1)))
101	100	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)))
102	91, 101	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))})
103	102	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1)) → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))}))
104	68, 103	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))}))
105	104	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1))) → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))})
106	105	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1))) → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107	106	ralbidva 2968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108	61, 107	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
109	108	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110	109	com23 84	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
111	110	a1dd 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
112	111	3imp1 1272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
113	112	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
114		ige3m2fz 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
116		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (1...(#‘𝑤)) = (1...𝑁))
117	116	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
118	117	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
119	115, 118	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))
120		swrd0fvlsw 13295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)))
121	50, 119, 120	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)))
122		swrd0fv0 13292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
123	50, 119, 122	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
124	121, 123	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
125	124	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
127		eluzelcn 11575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
128		cnm2m1cnm3 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
129	128	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
130	127, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
132		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
133	132	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
134		3m1e2 11014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 − 1) = 2
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3 − 1) = 2)
136	135	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (3 − 1)) = (𝑁 − 2))
137		3cn 10972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℂ
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ∈ ℂ)
139		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
140	127, 138, 139	subsubd 10299	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (3 − 1)) = ((𝑁 − 3) + 1))
141	136, 140	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 3) + 1))
142	141	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
143	133, 142	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
144	131, 143	preq12d 4220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
145	144	adantll 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
146	126, 145	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
147		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
148		eluzel2 11568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ∈ ℤ)
149	148, 36	zaddcld 11362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
150		2pos 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
151	16, 14	ltaddposd 10490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (0 < 2 ↔ 𝑁 < (𝑁 + 2)))
152	150, 151	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 < (𝑁 + 2))
153	138, 127, 139	addsub12d 10294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + (3 − 1)))
154	134	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 + (3 − 1)) = (𝑁 + 2)
155	153, 154	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 2))
156	152, 155	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 < (3 + (𝑁 − 1)))
157		elfzo2 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (3 + (𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (3 + (𝑁 − 1))))
158	147, 149, 156, 157	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))))
159	158, 36	jca 553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
160		fzosubel3 12396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − 3) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
161		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑤‘𝑖) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
162		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 3) + 1))
163	162	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
164	161, 163	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
165	164	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
166	165	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 − 3) ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
167	159, 160, 166	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
168	167	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
169	168	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
170	169	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
171	170	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
172	146, 171	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
173	28, 113, 172	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
174	173	exp31 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
175	174	adantld 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
176	3, 175	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
177	176	3imp21 1269	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
178	1	clwwlknbp 41193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁))
179	50, 51, 53	3jca 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
180	179	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))))
181	178, 180	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))))
182	181	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))))
183	182	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))))
184	183	imp 444	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
185	184	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
186	185, 54	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
187	177, 186	jca 553	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2)))
188	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
189		isclwwlksn 41190	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
190	188, 189	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
191	1, 2	isclwwlks 41188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
192	191	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
193	192	anbi1d 737	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2)) ↔ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
194	190, 193	bitrd 267	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
195	194	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
196	187, 195	mpbird 246	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 ⊆ wss 3540 ∅c0 3874 {cpr 4127 ⟨cop 4131 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ...cfz 12197 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 lastS clsw 13147 substr csubstr 13150 Vtxcvtx 25673 Edgcedga 25792 USGraph cusgr 40379 ClWWalkScclwwlks 41183 ClWWalkSN cclwwlksn 41184

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155 df-substr 13158 df-clwwlks 41185 df-clwwlksn 41186

This theorem is referenced by: av-extwwlkfab 41520

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