Proof of Theorem 2lgslem3a
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2lgslem2.n |
. . 3
⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 /
4))) |
2 | | oveq1 6556 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) −
1)) |
3 | 2 | oveq1d 6564 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8
· 𝐾) + 1) − 1)
/ 2)) |
4 | | oveq1 6556 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 1) / 4)) |
5 | 4 | fveq2d 6107 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) →
(⌊‘(𝑃 / 4)) =
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) |
6 | 3, 5 | oveq12d 6567 |
. . 3
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 / 4))) =
(((((8 · 𝐾) + 1)
− 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))) |
7 | 1, 6 | syl5eq 2656 |
. 2
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) −
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))) |
8 | | 8nn0 11192 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 8 ∈
ℕ0 |
9 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℕ0) |
10 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℕ0) |
11 | 9, 10 | nn0mulcld 11233 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
12 | 11 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℂ) |
13 | | pncan1 10333 |
. . . . . . 7
⊢ ((8
· 𝐾) ∈ ℂ
→ (((8 · 𝐾) +
1) − 1) = (8 · 𝐾)) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
1) − 1) = (8 · 𝐾)) |
15 | 14 | oveq1d 6564 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2)) |
16 | | 4cn 10975 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℂ |
17 | | 2cn 10968 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℂ |
18 | | 4t2e8 11058 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (4
· 2) = 8 |
19 | 16, 17, 18 | mulcomli 9926 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2
· 4) = 8 |
20 | 19 | eqcomi 2619 |
. . . . . . . . 9
⊢ 8 = (2
· 4) |
21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 = (2 · 4)) |
22 | 21 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((2
· 4) · 𝐾)) |
23 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℂ) |
24 | 16 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℂ) |
25 | | nn0cn 11179 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℂ) |
26 | 23, 24, 25 | mulassd 9942 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾))) |
27 | 22, 26 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = (2
· (4 · 𝐾))) |
28 | 27 | oveq1d 6564 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 2)
= ((2 · (4 · 𝐾)) / 2)) |
29 | | 4nn0 11188 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
ℕ0 |
30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ0) |
31 | 30, 10 | nn0mulcld 11233 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
32 | 31 | nn0cnd 11230 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℂ) |
33 | | 2ne0 10990 |
. . . . . . 7
⊢ 2 ≠
0 |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ≠ 0) |
35 | 32, 23, 34 | divcan3d 10685 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾)) |
36 | 15, 28, 35 | 3eqtrd 2648 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾)) |
37 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
38 | | 4ne0 10994 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ≠
0 |
39 | 16, 38 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . 9
⊢ (4 ∈
ℂ ∧ 4 ≠ 0) |
40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) |
41 | | divdir 10589 |
. . . . . . . 8
⊢ (((8
· 𝐾) ∈ ℂ
∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8
· 𝐾) + 1) / 4) =
(((8 · 𝐾) / 4) + (1
/ 4))) |
42 | 12, 37, 40, 41 | syl3anc 1318 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
1) / 4) = (((8 · 𝐾)
/ 4) + (1 / 4))) |
43 | | 8cn 10983 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℂ |
44 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℂ) |
45 | | div23 10583 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((8
∈ ℂ ∧ 𝐾
∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 ·
𝐾) / 4) = ((8 / 4) ·
𝐾)) |
46 | 44, 25, 40, 45 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= ((8 / 4) · 𝐾)) |
47 | 18 | eqcomi 2619 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 8 = (4
· 2) |
48 | 47 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (8 / 4) =
((4 · 2) / 4) |
49 | 17, 16, 38 | divcan3i 10650 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((4
· 2) / 4) = 2 |
50 | 48, 49 | eqtri 2632 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (8 / 4) =
2 |
51 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 / 4) = 2) |
52 | 51 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 / 4) · 𝐾)
= (2 · 𝐾)) |
53 | 46, 52 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= (2 · 𝐾)) |
54 | 53 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) /
4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4))) |
55 | 42, 54 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
1) / 4) = ((2 · 𝐾) +
(1 / 4))) |
56 | 55 | fveq2d 6107 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 ·
𝐾) + (1 /
4)))) |
57 | | 1lt4 11076 |
. . . . . 6
⊢ 1 <
4 |
58 | | 2nn0 11186 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
59 | 58 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℕ0) |
60 | 59, 10 | nn0mulcld 11233 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
61 | 60 | nn0zd 11356 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℤ) |
62 | | 1nn0 11185 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
63 | 62 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℕ0) |
64 | | 4nn 11064 |
. . . . . . . 8
⊢ 4 ∈
ℕ |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ) |
66 | | adddivflid 12481 |
. . . . . . 7
⊢ (((2
· 𝐾) ∈ ℤ
∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4
↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))) |
67 | 61, 63, 65, 66 | syl3anc 1318 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))) |
68 | 57, 67 | mpbii 222 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)) |
69 | 56, 68 | eqtrd 2644 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾)) |
70 | 36, 69 | oveq12d 6567 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾))) |
71 | | 2t2e4 11054 |
. . . . . . . 8
⊢ (2
· 2) = 4 |
72 | 71 | eqcomi 2619 |
. . . . . . 7
⊢ 4 = (2
· 2) |
73 | 72 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 = (2 · 2)) |
74 | 73 | oveq1d 6564 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = ((2
· 2) · 𝐾)) |
75 | 23, 23, 25 | mulassd 9942 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾))) |
76 | 74, 75 | eqtrd 2644 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = (2
· (2 · 𝐾))) |
77 | 76 | oveq1d 6564 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾))) |
78 | 60 | nn0cnd 11230 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℂ) |
79 | | 2txmxeqx 11026 |
. . . 4
⊢ ((2
· 𝐾) ∈ ℂ
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
80 | 78, 79 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
81 | 70, 77, 80 | 3eqtrd 2648 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾)) |
82 | 7, 81 | sylan9eqr 2666 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ 𝑃 = ((8 ·
𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾)) |