Theorem 163prm 15670

Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
163prm	⊢ ;;163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11185	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		6nn0 11190	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
4		3nn 11063	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11394	. 2 ⊢ ;;163 ∈ ℕ
6		8nn0 11192	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11188	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		3nn0 11187	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt8 11098	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		6lt10 11552	. . 3 ⊢ 6 < ;10
11		3lt10 11555	. . 3 ⊢ 3 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 11414	. 2 ⊢ ;;163 < ;;841
13		6nn 11066	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		1lt10 11557	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 11422	. 2 ⊢ 1 < ;;163
17		2cn 10968	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	mulid2i 9922	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
19		df-3 10957	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	3, 1, 18, 19	dec2dvds 15605	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;163
21		5nn0 11189	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22	21, 7	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;54 ∈ ℕ0
23		1nn 10908	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
24		0nn0 11184	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;54 = ;54
26	1	dec0h 11398	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
27		ax-1cn 9873	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10103	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	28	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30		5p1e6 11032	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
31		5cn 10977	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
32		3cn 10972	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		5t3e15 11511	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
34	31, 32, 33	mulcomli 9926	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
35	1, 21, 30, 34	decsuc 11411	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
36	29, 35	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ;16
37		2nn0 11186	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		2p1e3 11028	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
39		4cn 10975	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		4t3e12 11508	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
41	39, 32, 40	mulcomli 9926	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
42	1, 37, 38, 41	decsuc 11411	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
43	21, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42	decma2c 11444	. . 3 ⊢ ((3 · ;54) + 1) = ;;163
44		1lt3 11073	. . 3 ⊢ 1 < 3
45	4, 22, 23, 43, 44	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;163
46		3lt5 11078	. . 3 ⊢ 3 < 5
47	3, 4, 46	dec5dvds 15606	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;163
48		7nn 11067	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	37, 8	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
50		2nn 11062	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
52	37	dec0h 11398	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
53		7nn0 11191	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
54	17	addid2i 10103	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
55	54	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56		7t2e14 11524	. . . . . 6 ⊢ (7 · 2) = ;14
57		4p2e6 11039	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
58	1, 7, 37, 56, 57	decaddi 11455	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + 2) = ;16
59	55, 58	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ;16
60		7t3e21 11525	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
61		1p2e3 11029	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
62	37, 1, 37, 60, 61	decaddi 11455	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 2) = ;23
63	37, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62	decma2c 11444	. . 3 ⊢ ((7 · ;23) + 2) = ;;163
64		2lt7 11090	. . 3 ⊢ 2 < 7
65	48, 49, 50, 63, 64	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;163
66	1, 23	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
67	1, 7	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
68		9nn 11069	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
69		9nn0 11193	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
70		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
71	69	dec0h 11398	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
72	1, 1	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73	31	addid2i 10103	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
74	73	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ((;11 · 1) + 5)
75	66	nncni 10907	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
76	75	mulid1i 9921	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
77	31, 27, 30	addcomli 10107	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
78	1, 1, 21, 76, 77	decaddi 11455	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 5) = ;16
79	74, 78	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ;16
80		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
81	39	mulid2i 9922	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 4) = 4
82	81, 28	oveq12i 6561	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83		4p1e5 11031	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
84	82, 83	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
85	81	oveq1i 6559	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86		9cn 10985	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
87		9p4e13 11498	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
88	86, 39, 87	addcomli 10107	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
89	85, 88	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + 9) = ;13
90	1, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89	decmac 11442	. . . 4 ⊢ ((;11 · 4) + 9) = ;53
91	1, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90	decma2c 11444	. . 3 ⊢ ((;11 · ;14) + 9) = ;;163
92		9lt10 11549	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
93	23, 1, 69, 92	declti 11422	. . 3 ⊢ 9 < ;11
94	66, 67, 68, 91, 93	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;163
95	1, 4	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
96	1, 37	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
97		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
98	53	dec0h 11398	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
99	1, 8	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
100		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
101	32	addid2i 10103	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
102	8	dec0h 11398	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
103	101, 102	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ (0 + 3) = ;03
104	27	mulid1i 9921	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105		00id 10090	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
106	104, 105	oveq12i 6561	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
107	27	addid1i 10102	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
108	106, 107	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
109	32	mulid1i 9921	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
110	109	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111		3p3e6 11038	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
112	110, 111	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 3) = 6
113	2	dec0h 11398	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
114	112, 113	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 3) = ;06
115	1, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114	decmac 11442	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 3)) = ;16
116	18, 28	oveq12i 6561	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117	116, 38	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118		3t2e6 11056	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
119	118	oveq1i 6559	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120		7cn 10981	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
121		6cn 10979	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
122		7p6e13 11484	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 6) = ;13
123	120, 121, 122	addcomli 10107	. . . . . 6 ⊢ (6 + 7) = ;13
124	119, 123	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
125	1, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124	decmac 11442	. . . 4 ⊢ ((;13 · 2) + 7) = ;33
126	1, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125	decma2c 11444	. . 3 ⊢ ((;13 · ;12) + 7) = ;;163
127		7lt10 11551	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
128	23, 8, 53, 127	declti 11422	. . 3 ⊢ 7 < ;13
129	95, 96, 48, 126, 128	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;163
130	1, 48	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
131		10nn 11390	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
132		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
133		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
134	86	mulid2i 9922	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
135		6p1e7 11033	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
136	121, 27, 135	addcomli 10107	. . . . . 6 ⊢ (1 + 6) = 7
137	134, 136	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138		9p7e16 11501	. . . . 5 ⊢ (9 + 7) = ;16
139	137, 138	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = ;16
140		9t7e63 11544	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 7) = ;63
141	86, 120, 140	mulcomli 9926	. . . . . 6 ⊢ (7 · 9) = ;63
142	141	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 0) = (;63 + 0)
143	2, 8	deccl 11388	. . . . . . 7 ⊢ ;63 ∈ ℕ0
144	143	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ ;63 ∈ ℂ
145	144	addid1i 10102	. . . . 5 ⊢ (;63 + 0) = ;63
146	142, 145	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 0) = ;63
147	1, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146	decmac 11442	. . 3 ⊢ ((;17 · 9) + ;10) = ;;163
148		7pos 10997	. . . 4 ⊢ 0 < 7
149	1, 24, 48, 148	declt 11406	. . 3 ⊢ ;10 < ;17
150	130, 69, 131, 147, 149	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;163
151	1, 68	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
152		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
153		8cn 10983	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
154	153	mulid2i 9922	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
155		7p1e8 11034	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
156	120, 27, 155	addcomli 10107	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) = 8
157	154, 156	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158		8p8e16 11494	. . . . 5 ⊢ (8 + 8) = ;16
159	157, 158	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = ;16
160		9t8e72 11545	. . . . 5 ⊢ (9 · 8) = ;72
161	53, 37, 38, 160	decsuc 11411	. . . 4 ⊢ ((9 · 8) + 1) = ;73
162	1, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161	decmac 11442	. . 3 ⊢ ((;19 · 8) + ;11) = ;;163
163		1lt9 11106	. . . 4 ⊢ 1 < 9
164	1, 1, 68, 163	declt 11406	. . 3 ⊢ ;11 < ;19
165	151, 6, 66, 162, 164	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;163
166	37, 4	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
167	120, 17, 56	mulcomli 9926	. . . . 5 ⊢ (2 · 7) = ;14
168	1, 7, 37, 167, 57	decaddi 11455	. . . 4 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
169	120, 32, 60	mulcomli 9926	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
170	37, 1, 37, 169, 61	decaddi 11455	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
171	37, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170	decrmac 11453	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
172		2lt10 11556	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
173	50, 8, 37, 172	declti 11422	. . 3 ⊢ 2 < ;23
174	166, 53, 50, 171, 173	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;163
175	5, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174	prmlem2 15665	1 ⊢ ;;163 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ;cdc 11369  ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224

This theorem is referenced by: (None)