NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  swapex GIF version

Theorem swapex 4742
Description: The Swap function is a set. (Contributed by SF, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
swapex Swap V

Proof of Theorem swapex
StepHypRef Expression
1 dfswap2 4741 . 2 Swap = (( ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) “k 1111111c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 1111111c))) “k 11111c) “k 11c) “k V)
2 ssetkex 4294 . . . . . . . . 9 Sk V
32ins2kex 4307 . . . . . . . 8 Ins2k Sk V
43ins2kex 4307 . . . . . . 7 Ins2k Ins2k Sk V
5 addcexlem 4382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) V
6 1cex 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1c V
76pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11c V
87pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 111c V
95, 8imakex 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) V
109imagekex 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) V
11 nncex 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn V
12 vvex 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 V V
1311, 12xpkex 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( Nn ×k V) V
1410, 13inex 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) V
15 idkex 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ik V
1611complex 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn V
1716, 12xpkex 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ∼ Nn ×k V) V
1815, 17inex 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)) V
1914, 18unex 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
2019imagekex 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
2120cnvkex 4287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
2221sikex 4297 . . . . . . . . . . . . . . 15 SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
232, 22cokex 4310 . . . . . . . . . . . . . 14 ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) V
2423ins3kex 4308 . . . . . . . . . . . . 13 Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) V
2524ins2kex 4307 . . . . . . . . . . . 12 Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) V
2621, 2cokex 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) V
27 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 {{0c}} V
2827, 12xpkex 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({{0c}} ×k V) V
2926, 28unex 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V)) V
3029ins3kex 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ins3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V)) V
313, 30symdifex 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) V
3231, 8imakex 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c) V
3332complex 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c) V
3433sikex 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c) V
3534ins3kex 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c) V
363, 35inex 4105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) V
3736, 8imakex 4300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c) V
3837sikex 4297 . . . . . . . . . . . . . 14 SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c) V
3938sikex 4297 . . . . . . . . . . . . 13 SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c) V
4039ins3kex 4308 . . . . . . . . . . . 12 Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c) V
4125, 40unex 4106 . . . . . . . . . . 11 ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) V
4241ins2kex 4307 . . . . . . . . . 10 Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) V
4320sikex 4297 . . . . . . . . . . . . . . 15 SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
4443sikex 4297 . . . . . . . . . . . . . 14 SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
4544sikex 4297 . . . . . . . . . . . . 13 SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
4645sikex 4297 . . . . . . . . . . . 12 SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
4746sikex 4297 . . . . . . . . . . 11 SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
4847ins3kex 4308 . . . . . . . . . 10 Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) V
4942, 48inex 4105 . . . . . . . . 9 ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) V
508pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . 12 1111c V
5150pw1ex 4303 . . . . . . . . . . 11 11111c V
5251pw1ex 4303 . . . . . . . . . 10 111111c V
5352pw1ex 4303 . . . . . . . . 9 1111111c V
5449, 53imakex 4300 . . . . . . . 8 (( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) “k 1111111c) V
5523sikex 4297 . . . . . . . . . . . . . 14 SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) V
5655sikex 4297 . . . . . . . . . . . . 13 SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) V
5756ins3kex 4308 . . . . . . . . . . . 12 Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) V
5837ins3kex 4308 . . . . . . . . . . . . 13 Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c) V
5958ins2kex 4307 . . . . . . . . . . . 12 Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c) V
6057, 59unex 4106 . . . . . . . . . . 11 ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) V
6160ins2kex 4307 . . . . . . . . . 10 Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) V
6234sikex 4297 . . . . . . . . . . . . . 14 SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c) V
6362sikex 4297 . . . . . . . . . . . . 13 SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c) V
6463sikex 4297 . . . . . . . . . . . 12 SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c) V
6564sikex 4297 . . . . . . . . . . 11 SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c) V
6665ins3kex 4308 . . . . . . . . . 10 Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c) V
6761, 66inex 4105 . . . . . . . . 9 ( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) V
6867, 53imakex 4300 . . . . . . . 8 (( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 1111111c) V
6954, 68unex 4106 . . . . . . 7 ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) “k 1111111c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 1111111c)) V
704, 69symdifex 4108 . . . . . 6 ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) “k 1111111c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 1111111c))) V
7170, 51imakex 4300 . . . . 5 (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) “k 1111111c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 1111111c))) “k 11111c) V
7271complex 4104 . . . 4 ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) “k 1111111c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 1111111c))) “k 11111c) V
7372, 7imakex 4300 . . 3 ( ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) “k 1111111c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 1111111c))) “k 11111c) “k 11c) V
7473, 12imakex 4300 . 2 (( ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) “k 1111111c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 1111111c))) “k 11111c) “k 11c) “k V) V
751, 74eqeltri 2423 1 Swap V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wcel 1710  Vcvv 2859  ccompl 3205   cdif 3206  cun 3207  cin 3208  csymdif 3209  {csn 3737  1cc1c 4134  1cpw1 4135   ×k cxpk 4174  kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  k cimak 4179   k ccomk 4180   SIk csik 4181  Imagekcimagek 4182   Sk cssetk 4183   Ik cidk 4184   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   Swap cswap 4718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-swap 4724
This theorem is referenced by:  cnvexg  5101  2ndex  5112  composeex  5820  domfnex  5870  connexex  5913  symex  5916  enex  6031  cnven  6045  xpcomen  6052
  Copyright terms: Public domain W3C validator