Theorem ncfinprop 4474

Description: Properties of finite cardinal number. Theorem X.1.23 of [Rosser] p. 527 (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ncfinprop	⊢ ((V ∈ Fin ∧ A ∈ V) → ( Ncfin A ∈ Nn ∧ A ∈ Ncfin A))

Proof of Theorem ncfinprop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ncfin 4442	. . . 4 ⊢ Ncfin A = (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x))
2		vfinnc 4471	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → ∃!x ∈ Nn A ∈ x)
3		reiotacl 4364	. . . . 5 ⊢ (∃!x ∈ Nn A ∈ x → (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) ∈ Nn )
4	2, 3	syl 15	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) ∈ Nn )
5	1, 4	syl5eqel 2437	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → Ncfin A ∈ Nn )
6	1	eqcomi 2357	. . . 4 ⊢ (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) = Ncfin A
7		eleq2 2414	. . . . . 6 ⊢ (x = Ncfin A → (A ∈ x ↔ A ∈ Ncfin A))
8	7	reiota2 4368	. . . . 5 ⊢ (( Ncfin A ∈ Nn ∧ ∃!x ∈ Nn A ∈ x) → (A ∈ Ncfin A ↔ (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) = Ncfin A))
9	5, 2, 8	syl2anc 642	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → (A ∈ Ncfin A ↔ (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) = Ncfin A))
10	6, 9	mpbiri 224	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → A ∈ Ncfin A)
11	5, 10	jca 518	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → ( Ncfin A ∈ Nn ∧ A ∈ Ncfin A))
12	11	ancoms 439	1 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ A ∈ V) → ( Ncfin A ∈ Nn ∧ A ∈ Ncfin A))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃!wreu 2616  Vcvv 2859  ℩cio 4337   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376   Nc_fin cncfin 4434

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-ncfin 4442

This theorem is referenced by:  ncfindi  4475  ncfinsn  4476  ncfineleq  4477  ncfintfin  4495  vfinspnn  4541  1cvsfin  4542  vfintle  4546  vfin1cltv  4547  vfinncvntnn  4548  vfinspsslem1  4550  vfinncsp  4554  vinf  4555