Theorem eventfin 4517

Description: If M is even , then so is T_fin M. Theorem X.1.37 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 26-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eventfin	⊢ (M ∈ Evenfin → Tfin M ∈ Evenfin )

Proof of Theorem eventfin

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2359	. . . . . 6 ⊢ (x = M → (x = (n +c n) ↔ M = (n +c n)))
2	1	rexbidv 2635	. . . . 5 ⊢ (x = M → (∃n ∈ Nn x = (n +c n) ↔ ∃n ∈ Nn M = (n +c n)))
3		neeq1 2524	. . . . 5 ⊢ (x = M → (x ≠ ∅ ↔ M ≠ ∅))
4	2, 3	anbi12d 691	. . . 4 ⊢ (x = M → ((∃n ∈ Nn x = (n +c n) ∧ x ≠ ∅) ↔ (∃n ∈ Nn M = (n +c n) ∧ M ≠ ∅)))
5		df-evenfin 4444	. . . 4 ⊢ Evenfin = {x ∣ (∃n ∈ Nn x = (n +c n) ∧ x ≠ ∅)}
6	4, 5	elab2g 2987	. . 3 ⊢ (M ∈ Evenfin → (M ∈ Evenfin ↔ (∃n ∈ Nn M = (n +c n) ∧ M ≠ ∅)))
7	6	ibi 232	. 2 ⊢ (M ∈ Evenfin → (∃n ∈ Nn M = (n +c n) ∧ M ≠ ∅))
8		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (n = ∅ → (n +c n) = (n +c ∅))
9		addcnul1 4452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (n +c ∅) = ∅
10	8, 9	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n = ∅ → (n +c n) = ∅)
11	10	necon3i 2555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n +c n) ≠ ∅ → n ≠ ∅)
12		tfinprop 4489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ≠ ∅) → ( Tfin n ∈ Nn ∧ ∃x ∈ n ℘1x ∈ Tfin n))
13	12	simpld 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ≠ ∅) → Tfin n ∈ Nn )
14	11, 13	sylan2 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → Tfin n ∈ Nn )
15		tfindi 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n))
16	15	3anidm12 1239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n))
17		addceq12 4385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((m = Tfin n ∧ m = Tfin n) → (m +c m) = ( Tfin n +c Tfin n))
18	17	anidms 626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (m = Tfin n → (m +c m) = ( Tfin n +c Tfin n))
19	18	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (m = Tfin n → ( Tfin (n +c n) = (m +c m) ↔ Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n)))
20	19	rspcev 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ (( Tfin n ∈ Nn ∧ Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n)) → ∃m ∈ Nn Tfin (n +c n) = (m +c m))
21	14, 16, 20	syl2anc 642	. . . . . . . 8 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → ∃m ∈ Nn Tfin (n +c n) = (m +c m))
22		nncaddccl 4419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ) → (n +c n) ∈ Nn )
23	22	anidms 626	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c n) ∈ Nn )
24		tfinnnul 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((n +c n) ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → Tfin (n +c n) ≠ ∅)
25	23, 24	sylan 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → Tfin (n +c n) ≠ ∅)
26	21, 25	jca 518	. . . . . . 7 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → (∃m ∈ Nn Tfin (n +c n) = (m +c m) ∧ Tfin (n +c n) ≠ ∅))
27		tfinex 4485	. . . . . . . 8 ⊢ Tfin (n +c n) ∈ V
28		eqeq1 2359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = Tfin (n +c n) → (x = (m +c m) ↔ Tfin (n +c n) = (m +c m)))
29	28	rexbidv 2635	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = Tfin (n +c n) → (∃m ∈ Nn x = (m +c m) ↔ ∃m ∈ Nn Tfin (n +c n) = (m +c m)))
30		neeq1 2524	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = Tfin (n +c n) → (x ≠ ∅ ↔ Tfin (n +c n) ≠ ∅))
31	29, 30	anbi12d 691	. . . . . . . 8 ⊢ (x = Tfin (n +c n) → ((∃m ∈ Nn x = (m +c m) ∧ x ≠ ∅) ↔ (∃m ∈ Nn Tfin (n +c n) = (m +c m) ∧ Tfin (n +c n) ≠ ∅)))
32		df-evenfin 4444	. . . . . . . 8 ⊢ Evenfin = {x ∣ (∃m ∈ Nn x = (m +c m) ∧ x ≠ ∅)}
33	27, 31, 32	elab2 2988	. . . . . . 7 ⊢ ( Tfin (n +c n) ∈ Evenfin ↔ (∃m ∈ Nn Tfin (n +c n) = (m +c m) ∧ Tfin (n +c n) ≠ ∅))
34	26, 33	sylibr 203	. . . . . 6 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → Tfin (n +c n) ∈ Evenfin )
35	34	ex 423	. . . . 5 ⊢ (n ∈ Nn → ((n +c n) ≠ ∅ → Tfin (n +c n) ∈ Evenfin ))
36		neeq1 2524	. . . . . . . 8 ⊢ (M = (n +c n) → (M ≠ ∅ ↔ (n +c n) ≠ ∅))
37		tfineq 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (M = (n +c n) → Tfin M = Tfin (n +c n))
38	37	eleq1d 2419	. . . . . . . 8 ⊢ (M = (n +c n) → ( Tfin M ∈ Evenfin ↔ Tfin (n +c n) ∈ Evenfin ))
39	36, 38	imbi12d 311	. . . . . . 7 ⊢ (M = (n +c n) → ((M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Evenfin ) ↔ ((n +c n) ≠ ∅ → Tfin (n +c n) ∈ Evenfin )))
40	39	biimprd 214	. . . . . 6 ⊢ (M = (n +c n) → (((n +c n) ≠ ∅ → Tfin (n +c n) ∈ Evenfin ) → (M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Evenfin )))
41	40	com12 27	. . . . 5 ⊢ (((n +c n) ≠ ∅ → Tfin (n +c n) ∈ Evenfin ) → (M = (n +c n) → (M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Evenfin )))
42	35, 41	syl 15	. . . 4 ⊢ (n ∈ Nn → (M = (n +c n) → (M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Evenfin )))
43	42	rexlimiv 2732	. . 3 ⊢ (∃n ∈ Nn M = (n +c n) → (M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Evenfin ))
44	43	imp 418	. 2 ⊢ ((∃n ∈ Nn M = (n +c n) ∧ M ≠ ∅) → Tfin M ∈ Evenfin )
45	7, 44	syl 15	1 ⊢ (M ∈ Evenfin → Tfin M ∈ Evenfin )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  ∅c0 3550  ℘₁cpw1 4135   Nn cnnc 4373   +_c cplc 4375   T_fin ctfin 4435   Even_fin cevenfin 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443  df-evenfin 4444

This theorem is referenced by:  vinf  4555