Theorem en0 6042

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by SF, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
en0	⊢ (A ≈ ∅ ↔ A = ∅)

Proof of Theorem en0

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6030	. . 3 ⊢ (A ≈ ∅ ↔ ∃f f:A–1-1-onto→∅)
2		f1ocnv 5299	. . . . 5 ⊢ (f:A–1-1-onto→∅ → ◡f:∅–1-1-onto→A)
3		f1o00 5317	. . . . . 6 ⊢ (◡f:∅–1-1-onto→A ↔ (◡f = ∅ ∧ A = ∅))
4	3	simprbi 450	. . . . 5 ⊢ (◡f:∅–1-1-onto→A → A = ∅)
5	2, 4	syl 15	. . . 4 ⊢ (f:A–1-1-onto→∅ → A = ∅)
6	5	exlimiv 1634	. . 3 ⊢ (∃f f:A–1-1-onto→∅ → A = ∅)
7	1, 6	sylbi 187	. 2 ⊢ (A ≈ ∅ → A = ∅)
8		0ex 4110	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	enrflx 6035	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
10		breq1 4642	. . 3 ⊢ (A = ∅ → (A ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
11	9, 10	mpbiri 224	. 2 ⊢ (A = ∅ → A ≈ ∅)
12	7, 11	impbii 180	1 ⊢ (A ≈ ∅ ↔ A = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 176  ∃wex 1541   = wceq 1642  ∅c0 3550   class class class wbr 4639  ^◡ccnv 4771  –1-1-onto→wf1o 4780   ≈ cen 6028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-2nd 4797  df-en 6029

This theorem is referenced by:  df0c2  6137  muc0or  6251