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Theorem symex 5916
Description: The class of all symmetric relationships is a set. (Contributed by SF, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
symex Sym

Proof of Theorem symex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sym 5908 . . 3 Sym
2 vex 2862 . . . . . . 7
3 vex 2862 . . . . . . 7
42, 3opex 4588 . . . . . 6
54elcompl 3225 . . . . 5 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c
6 elin 3219 . . . . . . . . . 10 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c
72otelins2 5791 . . . . . . . . . . . 12 Ins2 S S
8 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13
98, 3opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . . 12 S
107, 9bitri 240 . . . . . . . . . . 11 Ins2 S
11 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
12 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1312otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins2 Ins2 S Ins2 S
142otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins2 S S
15 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1615, 3opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 S
1713, 14, 163bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins2 Ins2 S
183oqelins4 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
19 eldif 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
20 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S
212oqelins4 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ins4 SI3 Swap SI3 Swap
22 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2322, 15, 8otsnelsi3 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 SI3 Swap Swap
24 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Swap Swap
2515, 8brswap2 4860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Swap
2623, 24, 253bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 SI3 Swap
2721, 26bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ins4 SI3 Swap
28 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2928otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ins2 Ins2 S Ins2 S
3012otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ins2 S S
3122, 2opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 S
3229, 30, 313bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ins2 Ins2 S
3327, 32anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S
3420, 33bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S
3534exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S
36 elima1c 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S
37 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38 df-clel 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3937, 38bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4035, 36, 393bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c
41 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
422oqelins4 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ins4 SI3 SI3
4322, 15, 8otsnelsi3 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 SI3
44 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4515, 8opex 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4645ideq 4870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4743, 44, 463bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 SI3
4842, 47bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ins4 SI3
4948, 32anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
5041, 49bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
5150exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
52 elima1c 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
53 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
54 df-clel 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5553, 54bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5651, 52, 553bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
5756notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
5840, 57anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
5918, 19, 583bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
6017, 59anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
6111, 60bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
6261exbii 1582 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
63 elima1c 4947 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
64 df-rex 2620 . . . . . . . . . . . . 13
6562, 63, 643bitr4i 268 . . . . . . . . . . . 12 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c
66 rexanali 2660 . . . . . . . . . . . 12
6765, 66bitri 240 . . . . . . . . . . 11 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c
6810, 67anbi12i 678 . . . . . . . . . 10 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c
696, 68bitri 240 . . . . . . . . 9 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c
7069exbii 1582 . . . . . . . 8 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c
71 elima1c 4947 . . . . . . . 8 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c
72 df-rex 2620 . . . . . . . 8
7370, 71, 723bitr4i 268 . . . . . . 7 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c
74 rexnal 2625 . . . . . . 7
7573, 74bitri 240 . . . . . 6 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c
7675con2bii 322 . . . . 5 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c
775, 76bitr4i 243 . . . 4 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c
7877opabbi2i 4866 . . 3 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c
791, 78eqtr4i 2376 . 2 Sym Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c
80 ssetex 4744 . . . . . 6 S
8180ins2ex 5797 . . . . 5 Ins2 S
8281ins2ex 5797 . . . . . . 7 Ins2 Ins2 S
83 swapex 4742 . . . . . . . . . . . . 13 Swap
8483si3ex 5806 . . . . . . . . . . . 12 SI3 Swap
8584ins4ex 5799 . . . . . . . . . . 11 Ins4 SI3 Swap
8685, 82inex 4105 . . . . . . . . . 10 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S
87 1cex 4142 . . . . . . . . . 10 1c
8886, 87imaex 4747 . . . . . . . . 9 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c
89 idex 5504 . . . . . . . . . . . . 13
9089si3ex 5806 . . . . . . . . . . . 12 SI3
9190ins4ex 5799 . . . . . . . . . . 11 Ins4 SI3
9291, 82inex 4105 . . . . . . . . . 10 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
9392, 87imaex 4747 . . . . . . . . 9 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
9488, 93difex 4107 . . . . . . . 8 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
9594ins4ex 5799 . . . . . . 7 Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
9682, 95inex 4105 . . . . . 6 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
9796, 87imaex 4747 . . . . 5 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c
9881, 97inex 4105 . . . 4 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c
9998, 87imaex 4747 . . 3 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c
10099complex 4104 . 2 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Swap Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c1c1c
10179, 100eqeltri 2423 1 Sym
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wral 2614  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cdif 3206   cin 3208  csn 3737  1cc1c 4134  cop 4561  copab 4622   class class class wbr 4639   Swap cswap 4718   S csset 4719  cima 4722   cid 4763   Ins2 cins2 5749   Ins4 cins4 5755   SI3 csi3 5757   Sym csym 5897
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-cnv 4785  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-sym 5908
This theorem is referenced by:  erex  5920
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