Theorem nnadjoinpw 4521

Description: Adjoining an element to a power class. Theorem X.1.40 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnadjoinpw	|- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> ~P(A u. {X}) e. (N +o N))

Proof of Theorem nnadjoinpw

Dummy variables a b t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwadjoin 4119	. 2 |- ~P(A u. {X}) = (~PA u. {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})})
2		simp3 957	. . 3 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> ~PA e. N)
3		simp1r 980	. . . 4 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> N e. Nn )
4		simp2r 982	. . . . 5 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> X e. ∼ A)
5		unipw 4117	. . . . . 6 |- U.~PA = A
6	5	compleqi 3244	. . . . 5 |- ∼ U.~PA = ∼ A
7	4, 6	syl6eleqr 2444	. . . 4 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> X e. ∼ U.~PA)
8		nnadjoin 4520	. . . 4 |- ((N e. Nn /\ ~PA e. N /\ X e. ∼ U.~PA) -> {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})} e. N)
9	3, 2, 7, 8	syl3anc 1182	. . 3 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})} e. N)
10		elcomplg 3218	. . . . . . . . 9 |- (X e. ∼ A -> (X e. ∼ A <-> -. X e. A))
11	10	ibi 232	. . . . . . . 8 |- (X e. ∼ A -> -. X e. A)
12	4, 11	syl 15	. . . . . . 7 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> -. X e. A)
13		snssg 3844	. . . . . . . 8 |- (X e. ∼ A -> (X e. A <-> {X} C_ A))
14	4, 13	syl 15	. . . . . . 7 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> (X e. A <-> {X} C_ A))
15	12, 14	mtbid 291	. . . . . 6 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> -. {X} C_ A)
16	15	intnand 882	. . . . 5 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> -. (b C_ A /\ {X} C_ A))
17	16	ralrimivw 2698	. . . 4 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> A.b e. ~P A -. (b C_ A /\ {X} C_ A))
18		disjr 3592	. . . . 5 |- ((~PA i^i {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})}) = (/) <-> A.t e. {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})} -. t e. ~PA)
19		eqeq1 2359	. . . . . . 7 |- (a = t -> (a = (b u. {X}) <-> t = (b u. {X})))
20	19	rexbidv 2635	. . . . . 6 |- (a = t -> (E.b e. ~P Aa = (b u. {X}) <-> E.b e. ~P At = (b u. {X})))
21	20	ralab 2997	. . . . 5 |- (A.t e. {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})} -. t e. ~PA <-> A.t(E.b e. ~P At = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA))
22		ralcom4 2877	. . . . . 6 |- (A.b e. ~P AA.t(t = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA) <-> A.tA.b e. ~P A(t = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA))
23		vex 2862	. . . . . . . . . 10 |- b e. _V
24		snex 4111	. . . . . . . . . 10 |- {X} e. _V
25	23, 24	unex 4106	. . . . . . . . 9 |- (b u. {X}) e. _V
26		eleq1 2413	. . . . . . . . . 10 |- (t = (b u. {X}) -> (t e. ~PA <-> (b u. {X}) e. ~PA))
27	26	notbid 285	. . . . . . . . 9 |- (t = (b u. {X}) -> (-. t e. ~PA <-> -. (b u. {X}) e. ~PA))
28	25, 27	ceqsalv 2885	. . . . . . . 8 |- (A.t(t = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA) <-> -. (b u. {X}) e. ~PA)
29	25	elpw 3728	. . . . . . . . 9 |- ((b u. {X}) e. ~PA <-> (b u. {X}) C_ A)
30		unss 3437	. . . . . . . . 9 |- ((b C_ A /\ {X} C_ A) <-> (b u. {X}) C_ A)
31	29, 30	bitr4i 243	. . . . . . . 8 |- ((b u. {X}) e. ~PA <-> (b C_ A /\ {X} C_ A))
32	28, 31	xchbinx 301	. . . . . . 7 |- (A.t(t = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA) <-> -. (b C_ A /\ {X} C_ A))
33	32	ralbii 2638	. . . . . 6 |- (A.b e. ~P AA.t(t = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA) <-> A.b e. ~P A -. (b C_ A /\ {X} C_ A))
34		r19.23v 2730	. . . . . . 7 |- (A.b e. ~P A(t = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA) <-> (E.b e. ~P At = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA))
35	34	albii 1566	. . . . . 6 |- (A.tA.b e. ~P A(t = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA) <-> A.t(E.b e. ~P At = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA))
36	22, 33, 35	3bitr3ri 267	. . . . 5 |- (A.t(E.b e. ~P At = (b u. {X}) -> -. t e. ~PA) <-> A.b e. ~P A -. (b C_ A /\ {X} C_ A))
37	18, 21, 36	3bitri 262	. . . 4 |- ((~PA i^i {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})}) = (/) <-> A.b e. ~P A -. (b C_ A /\ {X} C_ A))
38	17, 37	sylibr 203	. . 3 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> (~PA i^i {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})}) = (/))
39		eladdci 4399	. . 3 |- ((~PA e. N /\ {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})} e. N /\ (~PA i^i {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})}) = (/)) -> (~PA u. {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})}) e. (N +o N))
40	2, 9, 38, 39	syl3anc 1182	. 2 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> (~PA u. {a | E.b e. ~P Aa = (b u. {X})}) e. (N +o N))
41	1, 40	syl5eqel 2437	1 |- (((M e. Nn /\ N e. Nn ) /\ (A e. M /\ X e. ∼ A) /\ ~PA e. N) -> ~P(A u. {X}) e. (N +o N))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934  A.wal 1540   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339  A.wral 2614  E.wrex 2615   ∼ ccompl 3205   u. cun 3207   i^i cin 3208   C_ wss 3257  (/)c0 3550  ~Pcpw 3722  {csn 3737  U.cuni 3891   Nn cnnc 4373   +o cplc 4375

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379

This theorem is referenced by:  nnpweq  4523  sfindbl  4530