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Theorem dfsi2 4751
Description: Express singleton image in terms of the Kuratowski singleton image. (Contributed by SF, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfsi2 SI 11 k k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck SIk k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1

Proof of Theorem dfsi2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2862 . . . . 5
2 vex 2862 . . . . 5
3 opkelsikg 4264 . . . . 5 SIk k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1 k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
41, 2, 3mp2an 653 . . . 4 SIk k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1 k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
5 setconslem6 4736 . . . . . . . 8 k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
6 opeq1 4578 . . . . . . . . 9
76eleq1d 2419 . . . . . . . 8
8 opeq2 4579 . . . . . . . . 9
98eleq1d 2419 . . . . . . . 8
10 vex 2862 . . . . . . . 8
11 vex 2862 . . . . . . . 8
125, 7, 9, 10, 11opkelopkab 4246 . . . . . . 7 k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
13 df-br 4640 . . . . . . 7
1412, 13bitr4i 243 . . . . . 6 k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
15143anbi3i 1144 . . . . 5 k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
16152exbii 1583 . . . 4 k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
174, 16bitri 240 . . 3 SIk k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
1817opabbii 4626 . 2 SIk k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
19 setconslem4 4734 . 2 11 k k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck SIk k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1 SIk k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
20 df-si 4728 . 2 SI
2118, 19, 203eqtr4ri 2384 1 SI 11 k k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck SIk k k Ins3k SIk SIk Sk Ins2k Ins3k Sk k SIk kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Ins2k Ins2k Sk Ins3k SIk Ins2k Sk Ins3k kImagekImagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Sk 0c k k1 1 1ck1 1 1ck1 1 1 1 1ck1 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wb 176   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cdif 3206   cun 3207   cin 3208   csymdif 3209  csn 3737  copk 4057  ⋃1cuni1 4133  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   k cxpk 4174  kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  kcimak 4179   k ccomk 4180   SIk csik 4181  Imagekcimagek 4182   Sk cssetk 4183   k cidk 4184   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374  cop 4561  copab 4622   class class class wbr 4639   SI csi 4720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-br 4640  df-si 4728
This theorem is referenced by:  siexg  4752
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