Theorem znf1o 19719

Description: The function 𝐹 enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each 𝑛. When 𝑛 = 0, ℤ / 0ℤ = ℤ / {0} ≈ ℤ so we let 𝑊 = ℤ; otherwise 𝑊 = {0, ..., 𝑛 − 1} enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znf1o.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
znf1o.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znf1o.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
znf1o	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem znf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znf1o.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 19712	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 18381	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
5	4	zrhrhm 19679	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
6		zringbas 19643	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		znf1o.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	6, 7	rhmf 18549	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
9	2, 3, 5, 8	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
10		znf1o.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11		sseq1 3589	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
12		sseq1 3589	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
13		ssid 3587	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
14		elfzoelz 12339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	14	ssriv 3572	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
16	11, 12, 13, 15	keephyp 4102	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
17	10, 16	eqsstri 3598	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
18		fssres 5983	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵 ∧ 𝑊 ⊆ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
19	9, 17, 18	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
20		znf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
21	20	feq1i 5949	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
22	19, 21	sylibr 223	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊⟶𝐵)
23	20	fveq1i 6104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥)
24		fvres 6117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
25	24	ad2antrl 760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
26	23, 25	syl5eq 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
27	20	fveq1i 6104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦)
28		fvres 6117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
29	28	ad2antll 761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
30	27, 29	syl5eq 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
31	26, 30	eqeq12d 2625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
32		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33		simprl 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
34	17, 33	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35		simprr 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
36	17, 35	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
37	1, 4	zndvds 19717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
38	32, 34, 36, 37	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
39		elnn0 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40		simpl 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41		simprl 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
42	17, 41	sseldi 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
43		simprr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
44	17, 43	sseldi 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45		moddvds 14829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
47	42	zred 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
50		nnne0 10930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
51		ifnefalse 4048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
53	10, 52	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 = (0..^𝑁))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (0..^𝑁))
55	41, 54	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
56		elfzole1 12347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑥)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑥)
58		elfzolt2 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 < 𝑁)
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 < 𝑁)
60		modid 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑁)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
61	47, 49, 57, 59, 60	syl22anc 1319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
62	44	zred 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℝ)
63	43, 54	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
64		elfzole1 12347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑦)
66		elfzolt2 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
67	63, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 < 𝑁)
68		modid 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
69	62, 49, 65, 67, 68	syl22anc 1319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
70	61, 69	eqeq12d 2625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑥 = 𝑦))
71	46, 70	bitr3d 269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
72		simpl 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 = 0)
73	72	breq1d 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
74		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
75		0nn0 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
76	74, 75	syl6eqel 2696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
77	76, 34	sylan 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
78	76, 36	sylan 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
79	77, 78	zsubcld 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
80		0dvds 14840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
82	77	zcnd 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
83	78	zcnd 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℂ)
84	82, 83	subeq0ad 10281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
85	73, 81, 84	3bitrd 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
86	71, 85	jaoian 820	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
87	39, 86	sylanb 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
88	31, 38, 87	3bitrd 293	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
89	88	biimpd 218	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
90	89	ralrimivva 2954	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
91		dff13 6416	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
92	22, 90, 91	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1→𝐵)
93		zmodfzo 12555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
94	93	ancoms 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
95	53	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑊 = (0..^𝑁))
96	94, 95	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊)
97		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
98		modabs2 12566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
99	97, 48, 98	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
100		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
101	15, 94	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ)
102		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
103		moddvds 14829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
104	100, 101, 102, 103	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
105	99, 104	mpbid 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧))
106		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
108	1, 4	zndvds 19717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
109	107, 101, 102, 108	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
110	105, 109	mpbird 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
111	110	eqcomd 2616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
112		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
113	112	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))))
114	113	rspcev 3282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
115	96, 111, 114	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
116		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
117	116	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ↔ 𝑧 ∈ ℤ))
118	117	biimpar 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
119	118, 10	syl6eleqr 2699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ 𝑊)
120		eqidd 2611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
121		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
122	121	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)))
123	122	rspcev 3282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
124	119, 120, 123	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
125	115, 124	jaoian 820	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
126	39, 125	sylanb 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
127	27, 28	syl5eq 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
128	127	eqeq2d 2620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
129	128	rexbiia 3022	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
130	126, 129	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
131	130	ralrimiva 2949	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
132	1, 7, 4	znzrhfo 19715	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵)
133		fofn 6030	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → (ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ)
134		eqeq1 2614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
135	134	rexbidv 3034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
136	135	ralrn 6270	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
137	132, 133, 136	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
138	131, 137	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
139		forn 6031	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
140	132, 139	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
141	140	raleqdv 3121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
142	138, 141	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
143		dffo3 6282	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
144	22, 142, 143	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–onto→𝐵)
145		df-f1o 5811	. 2 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝑊–onto→𝐵))
146	92, 144, 145	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ran crn 5039   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ..^cfzo 12334   mod cmo 12530   ∥ cdvds 14821  Basecbs 15695  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535  ℤ_ringzring 19637  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nℤczn 19670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674

This theorem is referenced by:  zzngim  19720  znleval  19722  zntoslem  19724  znhash  19726  znunithash  19732  dchrisumlem1  24978