Theorem xrge0adddir 29023

Description: Right-distributivity of extended nonnegative real multiplication over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0adddir	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xrge0adddir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12127	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simpl1 1057	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sseldi 3566	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		simpl2 1058	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sseldi 3566	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		rge0ssre 12151	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		simpr 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	sseldi 3566	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		xadddir 11998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
10	3, 5, 8, 9	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
11		simpll1 1093	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
12	1, 11	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		simpll2 1094	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14	1, 13	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	12, 14	xaddcld 12003	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
16		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
17		xrge0addgt0 29022	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
18	11, 13, 16, 17	syl21anc 1317	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
19		xmulpnf1 11976	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞) = +∞)
20	15, 18, 19	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞) = +∞)
21		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞))
22	21	ad2antlr 759	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e +∞))
23		simpll3 1095	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24		ge0xmulcl 12158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
25	13, 23, 24	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
26	1, 25	sseldi 3566	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
27		xrge0neqmnf 12147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞) → (𝐵 ·e 𝐶) ≠ -∞)
28	25, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ≠ -∞)
29		xaddpnf2 11932	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
30	26, 28, 29	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
31	20, 22, 30	3eqtr4d 2654	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
32		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
33	32	ad2antlr 759	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
34		xmulpnf1 11976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
35	12, 16, 34	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
36	33, 35	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐶) = +∞)
37	36	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
38	31, 37	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
39		simpll3 1095	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
40	1, 39	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
41		xmul02 11970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = 0)
43	42	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (0 +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
44		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
45	44	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
46	45	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
47		simpll2 1094	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48	1, 47	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
49	48, 40	xmulcld 12004	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
50		xaddid2 11947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐵 ·e 𝐶))
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐵 ·e 𝐶))
52	43, 46, 51	3eqtr3d 2652	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐵 ·e 𝐶))
53		xaddid2 11947	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
54	48, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
55	54	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
56		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
57	56	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶))
58	57	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((0 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶))
59	52, 55, 58	3eqtr2rd 2651	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
60		0xr 9965	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
62		simpl1 1057	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
63	1, 62	sseldi 3566	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
64		pnfxr 9971	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
66		iccgelb 12101	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
67	61, 65, 62, 66	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ≤ 𝐴)
68		xrleloe 11853	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
69	68	biimpa 500	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
70	61, 63, 67, 69	syl21anc 1317	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
71	38, 59, 70	mpjaodan 823	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
72		0lepnf 11842	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
73		eliccelico 28929	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞)))
74	60, 64, 72, 73	mp3an 1416	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞))
75	74	3anbi3i 1248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞)))
76	75	simp3bi 1071	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐶 = +∞))
77	10, 71, 76	mpjaodan 823	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   +_𝑒 cxad 11820   ·_e cxmu 11821  [,)cico 12048  [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  xrge0adddi  29024  xrge0slmod  29175  esummulc1  29470