Theorem xpen 8008

Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 7846	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelexi 5082	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
3		endom 7868	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
4		xpdom1g 7942	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
5	2, 3, 4	syl2anr 494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
6	1	brrelex2i 5083	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		endom 7868	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≼ 𝐷)
8		xpdom2g 7941	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
9	6, 7, 8	syl2an 493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
10		domtr 7895	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶) ∧ (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
11	5, 9, 10	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
12	1	brrelex2i 5083	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
13		ensym 7891	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
14		endom 7868	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 7942	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
17	12, 15, 16	syl2anr 494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
18	1	brrelexi 5082	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
19		ensym 7891	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ 𝐶)
20		endom 7868	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ≈ 𝐶 → 𝐷 ≼ 𝐶)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≼ 𝐶)
22		xpdom2g 7941	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐷 ≼ 𝐶) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
23	18, 21, 22	syl2an 493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
24		domtr 7895	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
25	17, 23, 24	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
26		sbth 7965	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
27	11, 25, 26	syl2anc 691	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843

This theorem is referenced by:  map2xp  8015  unxpdom2  8053  sucxpdom  8054  xpnum  8660  infxpenlem  8719  infxpidm2  8723  xpcdaen  8888  mapcdaen  8889  pwcdaen  8890  cdaxpdom  8894  ackbij1lem5  8929  canthp1lem1  9353  xpnnen  14778  qnnen  14781  rexpen  14796  met2ndci  22137  re2ndc  22412  dyadmbl  23174  opnmblALT  23177  mbfimaopnlem  23228  mblfinlem1  32616