MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xp0 5471
Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
xp0 (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0
StepHypRef Expression
1 0xp 5122 . . 3 (∅ × 𝐴) = ∅
21cnveqi 5219 . 2 (∅ × 𝐴) =
3 cnvxp 5470 . 2 (∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4 cnv0 5454 . 2 ∅ = ∅
52, 3, 43eqtr3i 2640 1 (𝐴 × ∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  c0 3874   × cxp 5036  ccnv 5037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046
This theorem is referenced by:  xpnz  5472  xpdisj2  5475  difxp1  5478  dmxpss  5484  rnxpid  5486  xpcan  5489  unixp  5585  fconst5  6376  dfac5lem3  8831  xpcdaen  8888  fpwwe2lem13  9343  comfffval  16181  0ssc  16320  fuchom  16444  xpccofval  16645  frmdplusg  17214  mulgfval  17365  mulgfvi  17368  ga0  17554  symgplusg  17632  efgval  17953  psrplusg  19202  psrvscafval  19211  opsrle  19296  ply1plusgfvi  19433  txindislem  21246  txhaus  21260  0met  21981  aciunf1  28845  mbfmcst  29648  0rrv  29840  mexval  30653  mdvval  30655  mpstval  30686  dfpo2  30898  elima4  30924  finxp00  32415  isbnd3  32753  zrdivrng  32922
  Copyright terms: Public domain W3C validator