Theorem wwlksnextproplem3 41117

Description: Lemma 3 for wwlkextprop 26272. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem3	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		iswwlksn 41041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	wwlkbp 41043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
6		lencl 13179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊))
8		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
10		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
11		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
14		subadd2 10164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊)))
15	14	bicomd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
16	9, 10, 13, 15	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
17	7, 16	syl5bb 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
18		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
19	18	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
20	17, 19	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
21	20	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
22	21	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
24	5, 23	simpl2im 656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
25	24	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
26	25	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
27	26	opeq2d 4347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨0, (𝑁 + 1)⟩ = ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)
28	27	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩))
29		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺))
30		nn0ge0 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
31		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
33		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	32, 33	addge02d 10495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 + 2)))
35	30, 34	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (𝑁 + 2))
36		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
37		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
38	36, 37, 37	addassd 9941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
39		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
41	40	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
42	38, 41	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
43	35, 42	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
45		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
46	45	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
47	44, 46	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (#‘𝑊))
48	29, 47	jca 553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)))
49		wwlksm1edg 41078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
51	28, 50	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
52	51	expcom 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
53	3, 52	sylbid 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
54	53	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
56	55	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
57		wwlksnextprop.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
58	4, 57	wwlknp 41045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
59		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
60		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
61	1, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
62		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
63	33, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
64	63	lep1d 10834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
65		elfz2nn0 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
66	1, 61, 64, 65	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
68		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
70	67, 69	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
71	70	adantll 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
72	59, 71	jca 553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
73	72	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
74	73	3adant3 1074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
75	58, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
77	76	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
78		swrd0len 13274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
80	56, 79	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1)))
81		iswwlksn 41041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
82	81	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
83	80, 82	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))
84	83	exp31 628	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))))
85		wwlksnextprop.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺)
86	84, 85	eleq2s 2706	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))))
87	86	3imp 1249	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))
88	85	wwlksnextproplem1 41115	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
89	88	3adant2 1073	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
90		simp2 1055	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃)
91	89, 90	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃)
92		fveq1 6102	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0))
93	92	eqeq1d 2612	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
94		wwlksnextprop.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
95	93, 94	elrab2 3333	. 2 ⊢ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
96	87, 91, 95	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  WWalkScwwlks 41028   WWalkSN cwwlksn 41029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034

This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  41118