Proof of Theorem unblimceq0lem
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | breq1 4586 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))) |
2 | 1 | anbi2d 736 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) |
3 | 2 | rexbidv 3034 |
. . . . . 6
⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) |
4 | 3 | ralbidv 2969 |
. . . . 5
⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) |
5 | | unblimceq0lem.3 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+
∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))) |
6 | 5 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
→ ∀𝑏 ∈
ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))) |
7 | | unblimceq0lem.1 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ) |
8 | 7 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ) |
9 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆) |
10 | 8, 9 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ) |
11 | 10 | abscld 14023 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ) |
12 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
→ 𝑐 ∈
ℝ+) |
13 | 12 | rpred 11748 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
→ 𝑐 ∈
ℝ) |
14 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ) |
15 | 11, 14 | readdcld 9948 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ) |
16 | 10 | absge0d 14031 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤
(abs‘(𝐹‘𝐴))) |
17 | 12 | rpgt0d 11751 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
→ 0 < 𝑐) |
18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 < 𝑐) |
19 | 11, 14, 16, 18 | addgegt0d 10480 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 <
((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)) |
20 | 15, 19 | elrpd 11745 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈
ℝ+) |
21 | | simplrl 796 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ+) |
22 | 20, 21 | ifclda 4070 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
→ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ∈
ℝ+) |
23 | 4, 6, 22 | rspcdva 3288 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
→ ∀𝑑 ∈
ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))) |
24 | | simprr 792 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
→ 𝑑 ∈
ℝ+) |
25 | | rsp 2913 |
. . . 4
⊢
(∀𝑑 ∈
ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ →
∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) |
26 | 23, 24, 25 | sylc 63 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
→ ∃𝑥 ∈
𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))) |
27 | | simprl 790 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ 𝑆) |
28 | | neeq1 2844 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 𝐴 ↔ 𝑥 ≠ 𝐴)) |
29 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 − 𝐴) = (𝑥 − 𝐴)) |
30 | 29 | fveq2d 6107 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴))) |
31 | 30 | breq1d 4593 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)) |
32 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥)) |
33 | 32 | fveq2d 6107 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑥))) |
34 | 33 | breq2d 4595 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))) |
35 | 28, 31, 34 | 3anbi123d 1391 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) |
36 | 35 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) |
37 | 15 | adantlr 747 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ) |
38 | 7 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ) |
39 | 38, 27 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) |
40 | 39 | abscld 14023 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ) |
41 | 40 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ) |
42 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆) |
43 | 42 | iftrued 4044 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)) |
44 | 43 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐)) |
45 | | simprrr 801 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) |
46 | 45 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) |
47 | 44, 46 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) |
48 | 37, 41, 47 | lensymd 10067 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)) |
49 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴)) |
50 | 49 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴))) |
51 | 50 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴))) |
52 | 14, 11 | ltaddposd 10490 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 < 𝑐 ↔ (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))) |
53 | 18, 52 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)) |
54 | 53 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)) |
55 | 51, 54 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)) |
56 | 55 | ex 449 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))) |
57 | 56 | adantlr 747 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))) |
58 | 57 | necon3bd 2796 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) → 𝑥 ≠ 𝐴)) |
59 | 48, 58 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴) |
60 | | simprrl 800 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑) |
61 | 60 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑) |
62 | 14 | adantlr 747 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ) |
63 | 10 | adantlr 747 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ) |
64 | 63 | absge0d 14031 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴))) |
65 | 11 | adantlr 747 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ) |
66 | 62, 65 | addge02d 10495 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)) ↔ 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))) |
67 | 64, 66 | mpbid 221 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)) |
68 | 62, 37, 41, 67, 47 | letrd 10073 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) |
69 | 59, 61, 68 | 3jca 1235 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))) |
70 | | simpr 476 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) |
71 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+
∧ 𝑑 ∈
ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) |
72 | 27 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆) |
73 | 72 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+
∧ 𝑑 ∈
ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆) |
74 | 71, 73 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+
∧ 𝑑 ∈
ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑆) |
75 | 74 | ex 449 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆)) |
76 | 75 | necon3bd 2796 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ 𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑥 ≠ 𝐴)) |
77 | 70, 76 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴) |
78 | 60 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑) |
79 | 70 | iffalsed 4047 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = 𝑐) |
80 | 79 | eqcomd 2616 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐)) |
81 | 45 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) |
82 | 80, 81 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) |
83 | 77, 78, 82 | 3jca 1235 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))) |
84 | 69, 83 | pm2.61dan 828 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))) |
85 | 27, 36, 84 | rspcedvd 3289 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)))) |
86 | 26, 85 | rexlimddv 3017 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+))
→ ∃𝑦 ∈
𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)))) |
87 | 86 | ralrimivva 2954 |
1
⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+
∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)))) |