Theorem uhgr0vusgr 40468

Description: The null graph, with no vertices, represented by a hypergraph, is a simple graph. (Contributed by AV, 5-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0vusgr	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph )

Proof of Theorem uhgr0vusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ UHGraph )
2		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	uhgr0v0e 40464	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (Edg‘𝐺) = ∅)
5		uhgriedg0edg0 25801	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
7	4, 6	mpbid 221	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
8	1, 7	usgr0e 40462	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UHGraph cuhgr 25722  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fv 5812  df-uhgr 25724  df-edga 25793  df-usgr 40381

This theorem is referenced by: (None)