MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss3 20601
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))

Proof of Theorem tgss3
StepHypRef Expression
1 bastg 20581 . . . 4 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
21adantr 480 . . 3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
3 sstr2 3575 . . 3 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
5 fvex 6113 . . . 4 (topGen‘𝐶) ∈ V
6 tgss 20583 . . . 4 (((topGen‘𝐶) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
75, 6mpan 702 . . 3 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
8 tgidm 20595 . . . . 5 (𝐶𝑊 → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
98adantl 481 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
109sseq2d 3596 . . 3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)) ↔ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
117, 10syl5ib 233 . 2 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
124, 11impbid 201 1 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540  cfv 5804  topGenctg 15921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-topgen 15927
This theorem is referenced by:  tgss2  20602  2basgen  20605  isfne4b  31506
  Copyright terms: Public domain W3C validator