Theorem subrgsubg 18609

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 18608	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 18375	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 18604	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 18606	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 18375	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 17417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1239	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-subg 17414  df-ring 18372  df-subrg 18601

This theorem is referenced by:  subrg0  18610  subrgbas  18612  subrgacl  18614  issubrg2  18623  subrgint  18625  resrhm  18632  rhmima  18634  abvres  18662  issubassa2  19166  resspsrmul  19238  subrgpsr  19240  mplbas2  19291  gsumply1subr  19425  zsssubrg  19623  gzrngunitlem  19630  zringlpirlem1  19651  zringcyg  19658  prmirred  19662  zndvds  19717  resubgval  19774  subrgnrg  22287  sranlm  22298  clmsub  22688  clmneg  22689  clmabs  22691  clmsubcl  22694  isncvsngp  22757  cphsqrtcl3  22795  tchcph  22844  plypf1  23772  dvply2g  23844  taylply2  23926  circgrp  24102  circsubm  24103  rzgrp  24104  jensenlem2  24514  amgmlem  24516  lgseisenlem4  24903  qrng0  25110  qrngneg  25112  subrgchr  29125  nn0archi  29174  rezh  29343  qqhcn  29363  qqhucn  29364  fsumcnsrcl  36755  cnsrplycl  36756  rngunsnply  36762  zringsubgval  41977  amgmwlem  42357