Theorem strfv 15735

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 16769) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 15700). By virtue of ndxid 15716, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		brstruct 15703	. . . 4 ⊢ Rel Struct
3	2	brrelexi 5082	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
5	1	structfun 15707	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
6		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
7		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
8		opex 4859	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
9	8	snss 4259	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
10	7, 9	mpbir 220	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
11	4, 5, 6, 10	strfv2 15734	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804   Struct cstr 15691  ndxcnx 15692  Slot cslot 15694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-slot 15699

This theorem is referenced by:  strfv3  15736  1strbas  15806  2strbas  15810  2strop  15811  2strbas1  15813  2strop1  15814  rngbase  15824  rngplusg  15825  rngmulr  15826  srngbase  15832  srngplusg  15833  srngmulr  15834  srnginvl  15835  lmodbase  15841  lmodplusg  15842  lmodsca  15843  lmodvsca  15844  ipsbase  15848  ipsaddg  15849  ipsmulr  15850  ipssca  15851  ipsvsca  15852  ipsip  15853  phlbase  15858  phlplusg  15859  phlsca  15860  phlvsca  15861  phlip  15862  topgrpbas  15866  topgrpplusg  15867  topgrptset  15868  otpsbas  15875  otpstset  15876  otpsle  15877  otpsbasOLD  15879  otpstsetOLD  15880  otpsleOLD  15881  odrngbas  15890  odrngplusg  15891  odrngmulr  15892  odrngtset  15893  odrngle  15894  odrngds  15895  imassca  16002  imastset  16005  fuccofval  16442  setcbas  16551  catchomfval  16571  catccofval  16573  estrcbas  16588  ipobas  16978  ipolerval  16979  ipotset  16980  psrbas  19199  psrplusg  19202  psrmulr  19205  psrsca  19210  psrvscafval  19211  cnfldbas  19571  cnfldadd  19572  cnfldmul  19573  cnfldcj  19574  cnfldtset  19575  cnfldle  19576  cnfldds  19577  cnfldunif  19578  trkgbas  25144  trkgdist  25145  trkgitv  25146  algbase  36767  algaddg  36768  algmulr  36769  algsca  36770  algvsca  36771  rngchomfvalALTV  41776  rngccofvalALTV  41779  ringchomfvalALTV  41839  ringccofvalALTV  41842