Theorem sspwb 4844

Description: Classes are subclasses if and only if their power classes are subclasses. Exercise 18 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 13-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
sspwb	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem sspwb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3575	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐵))
2	1	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐵))
3		vex 3176	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	elpw 4114	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
5	3	elpw 4114	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
6	2, 4, 5	3imtr4g 284	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
7	6	ssrdv 3574	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵)
8		ssel 3562	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 → ({𝑥} ∈ 𝒫 𝐴 → {𝑥} ∈ 𝒫 𝐵))
9		snex 4835	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ V
10	9	elpw 4114	. . . . 5 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 𝐴 ↔ {𝑥} ⊆ 𝐴)
11	3	snss 4259	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ {𝑥} ⊆ 𝐴)
12	10, 11	bitr4i 266	. . . 4 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	9	elpw 4114	. . . . 5 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 𝐵 ↔ {𝑥} ⊆ 𝐵)
14	3	snss 4259	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ {𝑥} ⊆ 𝐵)
15	13, 14	bitr4i 266	. . . 4 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
16	8, 12, 15	3imtr3g 283	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
17	16	ssrdv 3574	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
18	7, 17	impbii 198	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128

This theorem is referenced by:  pwel  4847  ssextss  4849  pweqb  4852  pwdom  7997  marypha1lem  8222  wdompwdom  8366  r1pwss  8530  pwwf  8553  rankpwi  8569  rankxplim  8625  ackbij2lem1  8924  fictb  8950  ssfin2  9025  ssfin3ds  9035  ttukeylem2  9215  hashbclem  13093  wrdexg  13170  incexclem  14407  hashbcss  15546  isacs1i  16141  mreacs  16142  acsfn  16143  sscpwex  16298  wunfunc  16382  isacs3lem  16989  isacs5lem  16992  tgcmp  21014  imastopn  21333  fgabs  21493  fgtr  21504  trfg  21505  ssufl  21532  alexsubb  21660  tsmsres  21757  cfiluweak  21909  cfilresi  22901  cmetss  22921  minveclem4a  23009  minveclem4  23011  vitali  23188  sqff1o  24708  elsigagen2  29538  ldsysgenld  29550  ldgenpisyslem1  29553  measres  29612  imambfm  29651  ballotlem2  29877  neibastop1  31524  neibastop2lem  31525  neibastop2  31526  sstotbnd2  32743  isnacs3  36291  aomclem2  36643  dssmapnvod  37334  gneispace  37452  sge0less  39285  sge0iunmptlemre  39308