Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssfz12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfz12 40351
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfz12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))

Proof of Theorem ssfz12
StepHypRef Expression
1 eluz 11577 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝐿))
21biimp3ar 1425 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐾))
3 eluzfz1 12219 . . 3 (𝐿 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
5 eluzfz2 12220 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
62, 5syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
7 ssel2 3563 . . . . . . . 8 (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8 ssel2 3563 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐿 ∈ (𝑀...𝑁))
9 elfzuz3 12210 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐿))
10 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
11 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
12 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁))
13 pm3.21 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿𝑁 → (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
14133ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
1512, 14sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
1716com13 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐾 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
18173ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
1911, 18sylbi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
2120com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
228, 9, 213syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
2322ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
2423com4t 91 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
257, 24syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
2625ex 449 . . . . . 6 ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))))
2726com24 93 . . . . 5 ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))))
2827pm2.43i 50 . . . 4 ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
2928com14 94 . . 3 (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
306, 29mpcom 37 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
314, 30mpd 15 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031  wcel 1977  wss 3540   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cle 9954  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator