HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanval 27576
Description: Value of the linear span of a subset of Hilbert space. The span is the intersection of all subspaces constraining the subset. Definition of span in [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanval (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem spanval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 27240 . . . 4 ℋ ∈ V
21elpw2 4755 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝐴 ⊆ ℋ)
32biimpri 217 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℋ)
4 helsh 27486 . . . 4 ℋ ∈ S
5 sseq2 3590 . . . . 5 (𝑥 = ℋ → (𝐴𝑥𝐴 ⊆ ℋ))
65rspcev 3282 . . . 4 (( ℋ ∈ S𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
74, 6mpan 702 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
8 intexrab 4750 . . 3 (∃𝑥S 𝐴𝑥 {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
97, 8sylib 207 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
10 sseq1 3589 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥𝐴𝑥))
1110rabbidv 3164 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
1211inteqd 4415 . . 3 (𝑦 = 𝐴 {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
13 df-span 27552 . . 3 span = (𝑦 ∈ 𝒫 ℋ ↦ {𝑥S𝑦𝑥})
1412, 13fvmptg 6189 . 2 ((𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ∧ {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V) → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
153, 9, 14syl2anc 691 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540  𝒫 cpw 4108   cint 4410  cfv 5804  chil 27160   S csh 27169  spancspn 27173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-map 7746  df-nn 10898  df-hlim 27213  df-sh 27448  df-ch 27462  df-span 27552
This theorem is referenced by:  spancl  27579  spanss2  27588  spanid  27590  spanss  27591  shsval3i  27631  elspani  27786
  Copyright terms: Public domain W3C validator