Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxm1 36517
Description: Subtraction of 1 formula for X sequence. Part 1 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxm1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))

Proof of Theorem rmxm1
StepHypRef Expression
1 neg1z 11290 . . . 4 -1 ∈ ℤ
2 rmxadd 36510 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)))))
31, 2mp3an3 1405 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)))))
4 1z 11284 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
5 rmxneg 36507 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
64, 5mpan2 703 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
7 rmx1 36509 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
86, 7eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
109oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) · 𝐴))
11 frmx 36496 . . . . . . . 8 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
1211fovcl 6663 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11230 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
14 eluzelcn 11575 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1613, 15mulcomd 9940 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
1710, 16eqtrd 2644 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) = (𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
18 rmyneg 36511 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
194, 18mpan2 703 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
20 rmy1 36513 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
2120negeqd 10154 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → -(𝐴 Yrm 1) = -1)
2219, 21eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -1)
2322oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1))
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1))
25 frmy 36497 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2625fovcl 6663 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
2726zcnd 11359 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
28 ax-1cn 9873 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
29 mulneg2 10346 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1) = -((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
3027, 28, 29sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1) = -((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
3127mulid1d 9936 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
3231negeqd 10154 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
3330, 32eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
3424, 33eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
3534oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴↑2) − 1) · -(𝐴 Yrm 𝑁)))
36 rmspecnonsq 36490 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
3736eldifad 3552 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
3837nncnd 10913 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
4039, 27mulneg2d 10363 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · -(𝐴 Yrm 𝑁)) = -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
4135, 40eqtrd 2644 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
4217, 41oveq12d 6567 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)))) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
433, 42eqtrd 2644 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
44 zcn 11259 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4544adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
46 negsub 10208 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
4745, 28, 46sylancl 693 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
4847oveq2d 6565 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))
4915, 13mulcld 9939 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℂ)
5039, 27mulcld 9939 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
5149, 50negsubd 10277 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
5243, 48, 513eqtr3d 2652 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  -cneg 10146  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  cexp 12722  NNcsquarenn 36418   Xrm crmx 36482   Yrm crmy 36483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-numer 15281  df-denom 15282  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-squarenn 36423  df-pell1qr 36424  df-pell14qr 36425  df-pell1234qr 36426  df-pellfund 36427  df-rmx 36484  df-rmy 36485
This theorem is referenced by:  rmxluc  36519
  Copyright terms: Public domain W3C validator