Theorem ring0cl 18392

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 18375	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 17273	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ring 18372

This theorem is referenced by:  dvdsr01  18478  dvdsr02  18479  irredn0  18526  f1rhm0to0  18563  cntzsubr  18635  abv0  18654  abvtrivd  18663  lmod0cl  18712  lmod0vs  18719  lmodvs0  18720  lpi0  19068  isnzr2  19084  isnzr2hash  19085  ringelnzr  19087  0ring  19091  01eq0ring  19093  ringen1zr  19098  psr1cl  19223  mvrf  19245  mplmon  19284  mplmonmul  19285  mplcoe1  19286  evlslem3  19335  coe1z  19454  coe1tmfv2  19466  ply1scl0  19481  ply1scln0  19482  gsummoncoe1  19495  frlmphllem  19938  frlmphl  19939  uvcvvcl2  19946  uvcff  19949  mamumat1cl  20064  dmatsubcl  20123  dmatmulcl  20125  scmatscmiddistr  20133  marrepcl  20189  mdetr0  20230  mdetunilem8  20244  mdetunilem9  20245  maducoeval2  20265  maduf  20266  madutpos  20267  madugsum  20268  marep01ma  20285  smadiadetlem4  20294  smadiadetglem2  20297  1elcpmat  20339  m2cpminv0  20385  decpmataa0  20392  monmatcollpw  20403  pmatcollpw3fi1lem1  20410  pmatcollpw3fi1lem2  20411  chfacfisf  20478  cphsubrglem  22785  mdegaddle  23638  ply1divex  23700  facth1  23728  fta1blem  23732  abvcxp  25104  lfl0sc  33387  lflsc0N  33388  baerlem3lem1  36014  frlmpwfi  36686  zrrnghm  41707  zlidlring  41718  cznrng  41747  linc0scn0  42006  linc1  42008