Theorem revs1 13365

Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
revs1	⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Proof of Theorem revs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cli 13237	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V
2		s1len 13238	. . . . . . 7 ⊢ (#‘⟨“𝑆”⟩) = 1
3		1nn 10908	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	2, 3	eqeltri 2684	. . . . . 6 ⊢ (#‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ
5		lbfzo0 12375	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘⟨“𝑆”⟩)) ↔ (#‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^(#‘⟨“𝑆”⟩))
7		revfv 13363	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(#‘⟨“𝑆”⟩))) → ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((#‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)))
8	1, 6, 7	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((#‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0))
9	2	oveq1i 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = (1 − 1)
10		1m1e0 10966	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
11	9, 10	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = 0
12	11	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = (0 − 0)
13		0m0e0 11007	. . . . . . 7 ⊢ (0 − 0) = 0
14	12, 13	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (((#‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = 0
15	14	fveq2i 6106	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘(((#‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = (⟨“𝑆”⟩‘0)
16		ids1 13230	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑆”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
17	16	fveq1i 6104	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘0) = (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0)
18		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝑆) ∈ V
19		s1fv 13243	. . . . . . 7 ⊢ (( I ‘𝑆) ∈ V → (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
21	17, 20	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
22	15, 21	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘(((#‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = ( I ‘𝑆)
23	8, 22	eqtri 2632	. . 3 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆)
24		s1eq 13233	. . 3 ⊢ (((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆) → ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩)
25	23, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
26		revcl 13361	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V)
27	1, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V
28		revlen 13362	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (#‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (#‘⟨“𝑆”⟩))
29	1, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (#‘⟨“𝑆”⟩)
30	29, 2	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (#‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1
31		eqs1 13245	. . 3 ⊢ (((reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V ∧ (#‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1) → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩)
32	27, 30, 31	mp2an 704	. 2 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩
33	25, 32, 16	3eqtr4i 2642	1 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   I cid 4948  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  ℕcn 10897  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149  reversecreverse 13152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-s1 13157  df-reverse 13160

This theorem is referenced by:  gsumwrev  17619  efginvrel2  17963  vrgpinv  18005