Theorem res0 5321

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5050	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 5122	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 3773	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 3920	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2636	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1475  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874   × cxp 5036   ↾ cres 5040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-opab 4644  df-xp 5044  df-res 5050

This theorem is referenced by:  ima0  5400  resdisj  5482  smo0  7342  tfrlem16  7376  tz7.44-1  7389  mapunen  8014  fnfi  8123  ackbij2lem3  8946  hashf1lem1  13096  setsid  15742  meet0  16960  join0  16961  frmdplusg  17214  psgn0fv0  17754  gsum2dlem2  18193  ablfac1eulem  18294  ablfac1eu  18295  psrplusg  19202  ply1plusgfvi  19433  ptuncnv  21420  ptcmpfi  21426  ust0  21833  xrge0gsumle  22444  xrge0tsms  22445  jensen  24515  0pth  26100  1pthonlem1  26119  eupath2  26507  resf1o  28893  gsumle  29110  xrge0tsmsd  29116  esumsnf  29453  dfpo2  30898  eldm3  30905  rdgprc0  30943  zrdivrng  32922  eldioph4b  36393  diophren  36395  ismeannd  39360  psmeasure  39364  isomennd  39421  hoidmvlelem3  39487  egrsubgr  40501  0grsubgr  40502  pthdlem1  40972  0pth-av  41293  1pthdlem1  41302  eupth2lemb  41405  aacllem  42356