MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0ii 10808
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2 0 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
recgt0ii 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9873 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2 ltplus1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32recni 9931 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
4 ax-1ne0 9884 . . . . 5 1 ≠ 0
5 recgt0i.2 . . . . . 6 0 < 𝐴
62, 5gt0ne0ii 10443 . . . . 5 𝐴 ≠ 0
71, 3, 4, 6divne0i 10652 . . . 4 (1 / 𝐴) ≠ 0
87nesymi 2839 . . 3 ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9 0lt1 10429 . . . . 5 0 < 1
10 0re 9919 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
11 1re 9918 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
1210, 11ltnsymi 10035 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
139, 12ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
142, 6rereccli 10669 . . . . . . . . 9 (1 / 𝐴) ∈ ℝ
1514renegcli 10221 . . . . . . . 8 -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
1615, 2mulgt0i 10048 . . . . . . 7 ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
175, 16mpan2 703 . . . . . 6 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
1814recni 9931 . . . . . . . 8 (1 / 𝐴) ∈ ℂ
1918, 3mulneg1i 10355 . . . . . . 7 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
203, 6recidi 10635 . . . . . . . . 9 (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
213, 18, 20mulcomli 9926 . . . . . . . 8 ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
2221negeqi 10153 . . . . . . 7 -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2319, 22eqtri 2632 . . . . . 6 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2417, 23syl6breq 4624 . . . . 5 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25 lt0neg1 10413 . . . . . 6 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27 lt0neg1 10413 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
2811, 27ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
2924, 26, 283imtr4i 280 . . . 4 ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
3013, 29mto 187 . . 3 ¬ (1 / 𝐴) < 0
318, 30pm3.2ni 895 . 2 ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32 axlttri 9988 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
3310, 14, 32mp2an 704 . 2 (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
3431, 33mpbir 220 1 0 < (1 / 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 195  wo 382   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953  -cneg 10146   / cdiv 10563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564
This theorem is referenced by:  halfgt0  11125  0.999...  14451  0.999...OLD  14452  sincos2sgn  14763  rpnnen2lem3  14784  rpnnen2lem4  14785  rpnnen2lem9  14790  pcoass  22632  log2tlbnd  24472  stoweidlem34  38927  stoweidlem59  38952
  Copyright terms: Public domain W3C validator