MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntleml Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntleml 25100
Description: Lemma for pnt 25103. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem3.A (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntlemp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlemp.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlemp.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlemp.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlemp.K (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
Assertion
Ref Expression
pntleml (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑅,𝑒,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝐿,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑒,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐴(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐵(𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑎)

Proof of Theorem pntleml
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . 2 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem3.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem3.A . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
4 eqid 2610 . 2 {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} = {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}
5 pntlemp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
6 pntlemp.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
7 pntlemp.d . . . 4 𝐷 = (𝐴 + 1)
8 pntlemp.f . . . 4 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
91, 2, 5, 6, 7, 8pntlemd 25083 . . 3 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
109simp3d 1068 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
11 0m0e0 11007 . . . . 5 (0 − 0) = 0
12 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → 𝑟 = 0)
1312oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟↑3) = (0↑3))
14 3nn 11063 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
15 0exp 12757 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0↑3) = 0
1713, 16syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟↑3) = 0)
1817oveq2d 6565 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · (𝑟↑3)) = (𝐹 · 0))
1910rpcnd 11750 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2019mul01d 10114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 · 0) = 0)
2120ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · 0) = 0)
2218, 21eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · (𝑟↑3)) = 0)
2312, 22oveq12d 6567 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) = (0 − 0))
2411, 23, 123eqtr4a 2670 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) = 𝑟)
25 simplr 788 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → 𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
2624, 25eqeltrd 2688 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
27 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦[,)+∞) = (𝑠[,)+∞))
2827raleqdv 3121 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
2928cbvrexv 3148 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
30 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))
31 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
322ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3332rpred 11748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴)))
3531, 33, 34sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴)))
3630, 35mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴))
3736simp1d 1066 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3810ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐹 ∈ ℝ+)
3936simp2d 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
40 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≠ 0)
4137, 39, 40ne0gt0d 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 < 𝑟)
4237, 41elrpd 11745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
43 3z 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
44 rpexpcl 12741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑟↑3) ∈ ℝ+)
4542, 43, 44sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟↑3) ∈ ℝ+)
4638, 45rpmulcld 11764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝐹 · (𝑟↑3)) ∈ ℝ+)
4746rpred 11748 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝐹 · (𝑟↑3)) ∈ ℝ)
4837, 47resubcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ)
493ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
505ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
516ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
52 pntlemp.K . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5352ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5436simp3d 1068 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟𝐴)
55 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 / 𝐷) = (𝑟 / 𝐷)
56 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘(𝐵 / (𝑟 / 𝐷))) = (exp‘(𝐵 / (𝑟 / 𝐷)))
57 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
58 1rp 11712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
59 rpaddcl 11730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ+)
6057, 58, 59sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ+)
6157rpge0d 11752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ 𝑠)
62 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
6357rpred 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ)
64 addge02 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6562, 63, 64sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6661, 65mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
6760, 66jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑠 + 1) ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6857rpxrd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ*)
6963lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
70 df-ico 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [,) = (𝑡 ∈ ℝ*, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑡𝑤𝑤 < 𝑟)})
71 xrletr 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ* ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → ((𝑠 ≤ (𝑠 + 1) ∧ (𝑠 + 1) ≤ 𝑣) → 𝑠𝑣))
7270, 70, 71ixxss1 12064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 ≤ (𝑠 + 1)) → ((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞))
7368, 69, 72syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞))
74 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
75 ssralv 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑠 + 1)[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
7673, 74, 75sylc 63 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑠 + 1)[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
771, 32, 49, 50, 51, 7, 8, 53, 42, 54, 55, 56, 67, 76pntlemp 25099 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
78 rpre 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
7978adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
8079leidd 10473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤𝑤)
81 elicopnf 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑤)))
8279, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑤)))
8379, 80, 82mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞))
84 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → (𝑅𝑣) = (𝑅𝑤))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤𝑣 = 𝑤)
8684, 85oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤 → ((𝑅𝑣) / 𝑣) = ((𝑅𝑤) / 𝑤))
8786fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑤 → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) = (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)))
8887breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑤 → ((abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
8988rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
9083, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
911pntrf 25052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑅:ℝ+⟶ℝ
9291ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑤) ∈ ℝ)
93 rerpdivcl 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9492, 93mpancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9695recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℂ)
9796absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)))
98 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
9996abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∈ ℝ)
10048adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ)
101 letr 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∈ ℝ ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10397, 102mpand 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10490, 103syld 46 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
105104rexlimdva 3013 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10677, 105mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
10746rpge0d 11752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ (𝐹 · (𝑟↑3)))
10837, 47subge02d 10498 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (0 ≤ (𝐹 · (𝑟↑3)) ↔ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝑟))
109107, 108mpbid 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝑟)
11048, 37, 33, 109, 54letrd 10073 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)
111 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)))
11231, 33, 111sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)))
11348, 106, 110, 112mpbir3and 1238 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴))
114113, 77jca 553 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
115114rexlimdvaa 3014 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
11629, 115syl5bi 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
117116anassrs 678 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
118117expimpd 627 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ≠ 0) → ((𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
119 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑟 → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
120119rexralbidv 3040 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑟 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
121120elrab 3331 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} ↔ (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
122 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
123122rexralbidv 3040 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
124 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑅𝑣) = (𝑅𝑧))
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧𝑣 = 𝑧)
126124, 125oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑅𝑣) / 𝑣) = ((𝑅𝑧) / 𝑧))
127126fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑧 → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) = (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)))
128127breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑧 → ((abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
129128cbvralv 3147 . . . . . . . . . 10 (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
130 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤[,)+∞) = (𝑦[,)+∞))
131130raleqdv 3121 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
132129, 131syl5bb 271 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
133132cbvrexv 3148 . . . . . . . 8 (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
134123, 133syl6bbr 277 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
135134elrab 3331 . . . . . 6 ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
136118, 121, 1353imtr4g 284 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ≠ 0) → (𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}))
137136imp 444 . . . 4 (((𝜑𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
138137an32s 842 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 ≠ 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
13926, 138pm2.61dane 2869 . 2 ((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
1401, 2, 3, 4, 10, 139pntlem3 25098 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  wss 3540   class class class wbr 4583  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  cz 11254  cdc 11369  +crp 11708  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  cexp 12722  abscabs 13822  𝑟 crli 14064  expce 14631  ψcchp 24619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-o1 14069  df-lo1 14070  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-em 24519  df-cht 24623  df-vma 24624  df-chp 24625  df-ppi 24626  df-mu 24627
This theorem is referenced by:  pnt3  25101
  Copyright terms: Public domain W3C validator