Theorem pnfnemnf 9973

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 9971	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4757	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2836	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 9956	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2855	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  𝒫 cpw 4108  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-pow 4769  ax-un 6847  ax-cnex 9871

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-uni 4373  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  9974  xnn0nemnf  11251  xrnemnf  11827  xrltnr  11829  pnfnlt  11838  nltmnf  11839  xaddpnf1  11931  xaddnemnf  11941  xmullem2  11967  xadddilem  11996  hashnemnf  12994  xrge0iifhom  29311  esumpr2  29456