Theorem pimltmnf2 39588

Description: Given a real valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltmnf2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
pimltmnf2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltmnf2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pimltmnf2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2751	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2751	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfv 1830	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) < -∞
4		pimltmnf2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		nfcv 2751	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
6	4, 5	nffv 6110	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
7		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
8		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
9	6, 7, 8	nfbr 4629	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) < -∞
10		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	breq1d 4593	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < -∞ ↔ (𝐹‘𝑦) < -∞))
12	1, 2, 3, 9, 11	cbvrab 3171	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞}
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞})
14		mnfxr 9975	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
16		pimltmnf2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 9968	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
19	17	mnfltd 11834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐹‘𝑦))
20	15, 18, 19	xrltled 38427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑦))
21	15, 18	xrlenltd 9983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞))
22	20, 21	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
23	22	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
24		rabeq0 3911	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
25	23, 24	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅)
26	13, 25	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  ∀wral 2896  {crab 2900  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959

This theorem is referenced by:  smfpimltxr  39634