Theorem peano1 6977

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 6977 through peano5 6981 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	⊢ ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 6972	. 2 ⊢ Lim ω
2		0ellim 5704	. 2 ⊢ (Lim ω → ∅ ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ∅ ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  Lim wlim 5641  ωcom 6957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-om 6958

This theorem is referenced by:  onnseq  7328  rdg0  7404  fr0g  7418  seqomlem3  7434  oa1suc  7498  om1  7509  oe1  7511  nna0r  7576  nnm0r  7577  nnmcl  7579  nnecl  7580  nnmsucr  7592  nnaword1  7596  nnaordex  7605  1onn  7606  oaabs2  7612  nnm1  7615  nneob  7619  omopth  7625  snfi  7923  0sdom1dom  8043  0fin  8073  findcard2  8085  nnunifi  8096  unblem2  8098  infn0  8107  unfilem3  8111  dffi3  8220  inf0  8401  infeq5i  8416  axinf2  8420  dfom3  8427  infdifsn  8437  noinfep  8440  cantnflt  8452  cnfcomlem  8479  cnfcom  8480  cnfcom2lem  8481  cnfcom3lem  8483  cnfcom3  8484  trcl  8487  rankdmr1  8547  rankeq0b  8606  cardlim  8681  infxpenc  8724  infxpenc2  8728  alephgeom  8788  alephfplem4  8813  ackbij1lem13  8937  ackbij1  8943  ackbij1b  8944  ominf4  9017  fin23lem16  9040  fin23lem31  9048  fin23lem40  9056  isf32lem9  9066  isf34lem7  9084  isf34lem6  9085  fin1a2lem6  9110  fin1a2lem7  9111  fin1a2lem11  9115  axdc3lem2  9156  axdc3lem4  9158  axdc4lem  9160  axcclem  9162  axdclem2  9225  pwfseqlem5  9364  omina  9392  wunex3  9442  1lt2pi  9606  1nn  10908  om2uzrani  12613  uzrdg0i  12620  fzennn  12629  axdc4uzlem  12644  hash1  13053  ltbwe  19293  2ndcdisj2  21070  snct  28874  trpredpred  30972  0hf  31454  neibastop2lem  31525  rdgeqoa  32394  finxp0  32404