Theorem nvabs 26911

Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvabs.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvabs.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvabs.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvabs.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvabs	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Proof of Theorem nvabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvabs.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvabs.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		nvabs.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvabs.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	nvdif 26905	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
6	5	negeqd 10154	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
7	1, 4	nvcl 26900	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
8	7	3adant2 1073	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
9	1, 4	nvcl 26900	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
11		simp1 1054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12		neg1cn 11001	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	1, 3	nvscl 26865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
14	12, 13	mp3an2 1404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15	14	3adant2 1073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
16	1, 2	nvgcl 26859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
17	15, 16	syld3an3 1363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
18	17	3com23 1263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
19	1, 4	nvcl 26900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
20	11, 18, 19	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
21	20	renegcld 10336	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
22	1, 2	nvcom 26860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
23	18, 22	syld3an3 1363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
24		simprr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
25	14	adantrr 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
26		simprl 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
27	24, 25, 26	3jca 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
28	1, 2	nvass 26861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
29	27, 28	syldan 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
30	29	3impb 1252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
31		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
32	1, 2, 3, 31	nvlinv 26891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec‘𝑈))
33	32	3adant3 1074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec‘𝑈))
34	33	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)) = (𝐵𝐺(0vec‘𝑈)))
35	1, 2, 31	nv0rid 26874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(0vec‘𝑈)) = 𝐵)
36	35	3adant2 1073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(0vec‘𝑈)) = 𝐵)
37	30, 34, 36	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = 𝐵)
38	23, 37	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = 𝐵)
39	38	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁‘𝐵))
40	1, 2, 4	nvtri 26909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
41	18, 40	syld3an3 1363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
42	39, 41	eqbrtrrd 4607	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
43	10	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
44	20	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℂ)
45	43, 44	subnegd 10278	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
46	42, 45	breqtrrd 4611	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ≤ ((𝑁‘𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
47	8, 10, 21, 46	lesubd 10510	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)))
48	6, 47	eqbrtrd 4605	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)))
49		simp2 1055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
50	1, 3	nvscl 26865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
51	12, 50	mp3an2 1404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
52	51	3adant2 1073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
53		simp3 1056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
54	1, 2	nvass 26861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
55	11, 49, 52, 53, 54	syl13anc 1320	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
56	1, 2, 3, 31	nvlinv 26891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec‘𝑈))
57	56	3adant2 1073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec‘𝑈))
58	57	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺(0vec‘𝑈)))
59	1, 2, 31	nv0rid 26874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(0vec‘𝑈)) = 𝐴)
60	59	3adant3 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(0vec‘𝑈)) = 𝐴)
61	55, 58, 60	3eqtrd 2648	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = 𝐴)
62	61	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) = (𝑁‘𝐴))
63	1, 2	nvgcl 26859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
64	52, 63	syld3an3 1363	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
65	1, 2, 4	nvtri 26909	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁‘𝐵)))
66	64, 65	syld3an2 1365	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁‘𝐵)))
67	62, 66	eqbrtrrd 4607	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁‘𝐵)))
68	1, 4	nvcl 26900	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
69	11, 64, 68	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
70	10, 8, 69	lesubaddd 10503	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (𝑁‘𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁‘𝐵))))
71	67, 70	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
72	10, 8	resubcld 10337	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ)
73	72, 69	absled 14017	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (-(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ∧ ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))))
74	48, 71, 73	mpbir2and 959	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  abscabs 13822  NrmCVeccnv 26823   +_𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·_𝑠OLD cns 26826  0_veccn0v 26827  norm_CVcnmcv 26829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839

This theorem is referenced by:  nmcvcn  26934