Theorem mzpcong 36557

Description: Polynomials commute with congruences. (Does this characterize them?) (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpcong	⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem mzpcong

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6131	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2	1	3anim1i 1241	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) → (𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))))
3		simp1 1054	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
4		simpl3l 1109	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
6		congid 36556	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏 − 𝑏))
7	4, 5, 6	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑏 − 𝑏))
8		simpl2l 1107	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
9		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
10	9	fvconst2 6374	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) = 𝑏)
12		simpl2r 1108	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
13	9	fvconst2 6374	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌) = 𝑏)
15	11, 14	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)) = (𝑏 − 𝑏))
16	7, 15	breqtrrd 4611	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
17		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
18		simpl3r 1110	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))
19		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘𝑏))
20		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑌‘𝑘) = (𝑌‘𝑏))
21	19, 20	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)) = ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏)))
22	21	breq2d 4595	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏))))
23	22	rspcva 3280	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘))) → 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏)))
24	17, 18, 23	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏)))
25		simpl2l 1107	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
26		fveq1 6102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐‘𝑏) = (𝑋‘𝑏))
27		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))
28		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋‘𝑏) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) = (𝑋‘𝑏))
30	25, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) = (𝑋‘𝑏))
31		simpl2r 1108	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
32		fveq1 6102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑌 → (𝑐‘𝑏) = (𝑌‘𝑏))
33		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌‘𝑏) ∈ V
34	32, 27, 33	fvmpt 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌) = (𝑌‘𝑏))
35	31, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌) = (𝑌‘𝑏))
36	30, 35	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌)) = ((𝑋‘𝑏) − (𝑌‘𝑏)))
37	24, 36	breqtrrd 4611	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌)))
38		simp13l 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		simp2l 1080	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
40		simp12l 1167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
41	39, 40	ffvelrnd 6268	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (𝑏‘𝑋) ∈ ℤ)
42		simp12r 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
43	39, 42	ffvelrnd 6268	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (𝑏‘𝑌) ∈ ℤ)
44		simp3l 1082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
45	44, 40	ffvelrnd 6268	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (𝑐‘𝑋) ∈ ℤ)
46	44, 42	ffvelrnd 6268	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (𝑐‘𝑌) ∈ ℤ)
47		simp2r 1081	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌)))
48		simp3r 1083	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))
49		congadd 36551	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏‘𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐‘𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌))))
50	38, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49	syl322anc 1346	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌))))
51		ffn 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
52	39, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
53		ffn 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
54	44, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
55		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
57		fnfvof 6809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)))
58	52, 54, 56, 40, 57	syl22anc 1319	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)))
59		fnfvof 6809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌)))
60	52, 54, 56, 42, 59	syl22anc 1319	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌)))
61	58, 60	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏‘𝑋) + (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) + (𝑐‘𝑌))))
62	50, 61	breqtrrd 4611	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌)))
63		congmul 36552	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑏‘𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝑐‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑐‘𝑌) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌))))
64	38, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 63	syl322anc 1346	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌))))
65		fnfvof 6809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)))
66	52, 54, 56, 40, 65	syl22anc 1319	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) = ((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)))
67		fnfvof 6809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌)))
68	52, 54, 56, 42, 67	syl22anc 1319	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌) = ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌)))
69	66, 68	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → (((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌)) = (((𝑏‘𝑋) · (𝑐‘𝑋)) − ((𝑏‘𝑌) · (𝑐‘𝑌))))
70	64, 69	breqtrrd 4611	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))) → 𝑁 ∥ (((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌)))
71		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎‘𝑋) = (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋))
72		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎‘𝑌) = (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))
73	71, 72	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌)))
74	73	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑋) − (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘𝑌))))
75		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) → (𝑎‘𝑋) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋))
76		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) → (𝑎‘𝑌) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌))
77	75, 76	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌)))
78	77	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏)) → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑋) − ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐‘𝑏))‘𝑌))))
79		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘𝑋) = (𝑏‘𝑋))
80		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘𝑌) = (𝑏‘𝑌))
81	79, 80	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌)))
82	81	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑏‘𝑋) − (𝑏‘𝑌))))
83		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎‘𝑋) = (𝑐‘𝑋))
84		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎‘𝑌) = (𝑐‘𝑌))
85	83, 84	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌)))
86	85	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑐‘𝑋) − (𝑐‘𝑌))))
87		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 + 𝑐) → (𝑎‘𝑋) = ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋))
88		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 + 𝑐) → (𝑎‘𝑌) = ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌))
89	87, 88	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 + 𝑐) → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = (((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌)))
90	89	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 + 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 + 𝑐)‘𝑌))))
91		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 · 𝑐) → (𝑎‘𝑋) = ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋))
92		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 · 𝑐) → (𝑎‘𝑌) = ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌))
93	91, 92	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 · 𝑐) → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = (((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌)))
94	93	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘𝑓 · 𝑐) → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑋) − ((𝑏 ∘𝑓 · 𝑐)‘𝑌))))
95		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑎‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
96		fveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑎‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
97	95, 96	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌)))
98	97	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑁 ∥ ((𝑎‘𝑋) − (𝑎‘𝑌)) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))))
99	16, 37, 62, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98	mzpindd 36327	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌)))
100	2, 3, 99	syl2anc 691	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ((𝑋‘𝑘) − (𝑌‘𝑘)))) → 𝑁 ∥ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   ↑_𝑚 cmap 7744   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821  mzPolycmzp 36303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822  df-mzpcl 36304  df-mzp 36305

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