MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02d 10113
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul02d (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mul02 10093 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958
This theorem is referenced by:  mulneg1  10345  mulge0  10425  mul0or  10546  prodgt0  10747  un0mulcl  11204  mul2lt0rgt0  11809  mul2lt0bi  11812  lincmb01cmp  12186  iccf1o  12187  discr1  12862  discr  12863  hashxplem  13080  cshweqrep  13418  remul2  13718  immul2  13725  binomlem  14400  pwm1geoser  14439  geomulcvg  14446  ntrivcvgfvn0  14470  fprodeq0  14544  fprodeq0g  14564  0fallfac  14607  binomfallfaclem2  14610  efne0  14666  dvds0  14835  mulmoddvds  14889  pwp1fsum  14952  smumullem  15052  mulgcd  15103  bezoutr1  15120  lcmgcd  15158  qnumgt0  15296  pcexp  15402  vdwapun  15516  vdwlem1  15523  mulgnn0ass  17401  odmulg  17796  torsubg  18080  isabvd  18643  nn0srg  19635  rge0srg  19636  prmirredlem  19660  nmo0  22349  nmoeq0  22350  blcvx  22409  reparphti  22605  pcorevlem  22634  ipcau2  22841  rrxcph  22988  itg1addlem4  23272  itg1addlem5  23273  itg1mulc  23277  itg2mulc  23320  dvcmul  23513  dvmptcmul  23533  dvexp3  23545  dvef  23547  dveq0  23567  dv11cn  23568  ply1termlem  23763  plyeq0lem  23770  plypf1  23772  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  coeeulem  23784  coeidlem  23797  coeid3  23800  coemullem  23810  coemulhi  23814  coemulc  23815  dgrco  23835  vieta1lem2  23870  elqaalem2  23879  aalioulem3  23893  taylthlem2  23932  abelthlem6  23994  pilem2  24010  sinhalfpip  24048  sinhalfpim  24049  coshalfpip  24050  coshalfpim  24051  logtayl  24206  mulcxp  24231  cxpmul2  24235  cxpeq  24298  chordthmlem5  24363  cubic  24376  atans2  24458  atantayl2  24465  leibpi  24469  efrlim  24496  scvxcvx  24512  amgm  24517  ftalem5  24603  basellem2  24608  mumul  24707  muinv  24719  dchrn0  24775  dchrinvcl  24778  lgsdirnn0  24869  lgsdinn0  24870  lgsquad2lem2  24910  rpvmasumlem  24976  dchrisum0flblem1  24997  rpvmasum2  25001  ostth2lem2  25123  brbtwn2  25585  axsegconlem1  25597  axpaschlem  25620  axcontlem7  25650  axcontlem8  25651  nvz0  26907  ipasslem1  27070  hi01  27337  xrge0iifhom  29311  indsum  29412  eulerpartlemsv2  29747  eulerpartlems  29749  eulerpartlemsv3  29750  eulerpartlemgc  29751  eulerpartlemv  29753  eulerpartlemgs2  29769  sgnmul  29931  plymul02  29949  plymulx0  29950  subfacp1lem6  30421  cvxpcon  30478  cvxscon  30479  fwddifnp1  31442  pell1234qrne0  36435  jm2.19lem3  36576  jm2.25  36584  flcidc  36763  relexpmulg  37021  radcnvrat  37535  dvconstbi  37555  binomcxplemnn0  37570  sineq0ALT  38195  fperiodmullem  38458  fprod0  38663  dvsinax  38801  dvasinbx  38810  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnxpaek  38832  dvnmul  38833  itgsinexplem1  38845  dirkertrigeqlem2  38992  fourierdlem42  39042  fourierdlem83  39082  sqwvfoura  39121  fouriersw  39124  elaa2lem  39126  etransclem15  39142  etransclem24  39151  etransclem35  39162  etransclem46  39173  sigarcol  39702  sharhght  39703  fmtnofac2  40019  aacllem  42356
  Copyright terms: Public domain W3C validator