Theorem mptsuppd 7205

Description: The support of a function in maps-to notation. (Contributed by AV, 10-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptsuppdifd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
mptsuppdifd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
mptsuppdifd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
mptsuppd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mptsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝑍})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptsuppdifd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		mptsuppdifd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		mptsuppdifd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	mptsuppdifd 7204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
5		mptsuppd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)
6		elex 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
8	7	biantrurd 528	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝑍 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝑍)))
9		eldifsn 4260	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝑍))
10	8, 9	syl6rbbr 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝐵 ≠ 𝑍))
11	10	rabbidva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝑍})
12	4, 11	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  (class class class)co 6549   supp csupp 7182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-supp 7183

This theorem is referenced by:  rmsupp0  41943  domnmsuppn0  41944  rmsuppss  41945  suppmptcfin  41954  lcoc0  42005  linc1  42008