Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fvex 6113 |
. . . . . 6
⊢
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V |
2 | | ovex 6577 |
. . . . . . 7
⊢
((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) ∈ V |
3 | | eqid 2610 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) |
4 | 2, 3 | fnmpti 5935 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁)) |
5 | | ovex 6577 |
. . . . . . 7
⊢
((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ V |
6 | | eqid 2610 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) |
7 | 5, 6 | fnmpti 5935 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁)) |
8 | | ofmpteq 6814 |
. . . . . 6
⊢
(((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
(((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) +
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) |
9 | 1, 4, 7, 8 | mp3an 1416 |
. . . . 5
⊢ ((𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
(((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) +
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) |
10 | | mdetrlin.r |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing) |
11 | | crngring 18381 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring) |
12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring) |
13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring) |
14 | | mdetrlin.y |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵) |
15 | | mdetrlin.a |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) |
16 | | mdetrlin.b |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) |
17 | 15, 16 | matrcl 20037 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V)) |
18 | 14, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V)) |
19 | 18 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin) |
20 | | zrhpsgnmhm 19749 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) →
((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))
∈ ((SymGrp‘𝑁)
MndHom (mulGrp‘𝑅))) |
21 | 12, 19, 20 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))) |
22 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)) |
23 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(mulGrp‘𝑅) =
(mulGrp‘𝑅) |
24 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(Base‘𝑅) =
(Base‘𝑅) |
25 | 23, 24 | mgpbas 18318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(Base‘𝑅) =
(Base‘(mulGrp‘𝑅)) |
26 | 22, 25 | mhmf 17163 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅)) |
27 | 21, 26 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅)) |
28 | 27 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) →
(((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅)) |
29 | 23 | crngmgp 18378 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑅 ∈ CRing →
(mulGrp‘𝑅) ∈
CMnd) |
30 | 10, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) |
31 | 30 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) |
32 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin) |
33 | 15, 24, 16 | matbas2i 20047 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) |
34 | | elmapi 7765 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚
(𝑁 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
35 | 14, 33, 34 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
36 | 35 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
37 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑟 ∈ 𝑁) |
38 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(SymGrp‘𝑁) =
(SymGrp‘𝑁) |
39 | 38, 22 | symgbasf 17627 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁⟶𝑁) |
40 | 39 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁⟶𝑁) |
41 | 40 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) |
42 | 36, 37, 41 | fovrnd 6704 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅)) |
43 | 42 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ 𝑁 (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅)) |
44 | 25, 31, 32, 43 | gsummptcl 18189 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) |
45 | | mdetrlin.z |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵) |
46 | 15, 24, 16 | matbas2i 20047 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) |
47 | | elmapi 7765 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚
(𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
48 | 45, 46, 47 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
49 | 48 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
50 | 49, 37, 41 | fovrnd 6704 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅)) |
51 | 50 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ 𝑁 (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅)) |
52 | 25, 31, 32, 51 | gsummptcl 18189 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) |
53 | | mdetrlin.p |
. . . . . . . . 9
⊢ + =
(+g‘𝑅) |
54 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . 9
⊢
(.r‘𝑅) = (.r‘𝑅) |
55 | 24, 53, 54 | ringdi 18389 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) +
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) |
56 | 13, 28, 44, 52, 55 | syl13anc 1320 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) →
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) +
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) |
57 | | cmnmnd 18031 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((mulGrp‘𝑅)
∈ CMnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd) |
58 | 31, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd) |
59 | | mdetrlin.i |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁) |
60 | 59 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ 𝑁) |
61 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
62 | 40, 60 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) |
63 | 61, 60, 62 | fovrnd 6704 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) |
64 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 = 𝐼 → 𝑟 = 𝐼) |
65 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑝‘𝑟) = (𝑝‘𝐼)) |
66 | 64, 65 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼))) |
67 | 25, 66 | gsumsn 18177 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((mulGrp‘𝑅)
∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈
𝑁 ∧ (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼))) |
68 | 58, 60, 63, 67 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼))) |
69 | 68, 63 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) |
70 | 48 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
71 | 70, 60, 62 | fovrnd 6704 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) |
72 | 64, 65 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) |
73 | 25, 72 | gsumsn 18177 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((mulGrp‘𝑅)
∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈
𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) |
74 | 58, 60, 71, 73 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) |
75 | 74, 71 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) |
76 | | difssd 3700 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁) |
77 | | ssfi 8065 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin) |
78 | 32, 76, 77 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin) |
79 | | eldifi 3694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟 ∈ 𝑁) |
80 | | mdetrlin.x |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵) |
81 | 15, 24, 16 | matbas2i 20047 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) |
82 | | elmapi 7765 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚
(𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
83 | 80, 81, 82 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
84 | 83 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
85 | 84, 37, 41 | fovrnd 6704 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅)) |
86 | 79, 85 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅)) |
87 | 86 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅)) |
88 | 25, 31, 78, 87 | gsummptcl 18189 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) |
89 | 24, 53, 54 | ringdir 18390 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧
(((mulGrp‘𝑅)
Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) |
90 | 13, 69, 75, 88, 89 | syl13anc 1320 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) →
((((mulGrp‘𝑅)
Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) |
91 | 23, 54 | mgpplusg 18316 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)) |
92 | | disjdif 3992 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅ |
93 | 92 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅) |
94 | 59 | snssd 4281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁) |
95 | 94 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁) |
96 | | undif 4001 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁) |
97 | 95, 96 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁) |
98 | 97 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼}))) |
99 | 25, 91, 31, 32, 85, 93, 98 | gsummptfidmsplit 18153 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) |
100 | | mdetrlin.eq |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))) |
101 | 100 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))) |
102 | 101 | oveqd 6566 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼))) |
103 | | xpss1 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁)) |
104 | 95, 103 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁)) |
105 | 61, 104 | fssresd 5984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
106 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁)) |
107 | 105, 106 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁)) |
108 | 70, 104 | fssresd 5984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
109 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁)) |
110 | 108, 109 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁)) |
111 | | snex 4835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ {𝐼} ∈ V |
112 | | xpexg 6858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ V) |
113 | 111, 32, 112 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ V) |
114 | | snidg 4153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ {𝐼}) |
115 | 60, 114 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼}) |
116 | | opelxp 5070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉 ∈ ({𝐼} × 𝑁) ↔ (𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁)) |
117 | 115, 62, 116 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉 ∈ ({𝐼} × 𝑁)) |
118 | | fnfvof 6809 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁) ∧ (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁)) ∧ (({𝐼} × 𝑁) ∈ V ∧ 〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉 ∈ ({𝐼} × 𝑁))) → (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉))) |
119 | 107, 110,
113, 117, 118 | syl22anc 1319 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉))) |
120 | | df-ov 6552 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉) |
121 | | df-ov 6552 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉) |
122 | | df-ov 6552 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉) |
123 | 121, 122 | oveq12i 6561 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘〈𝐼, (𝑝‘𝐼)〉)) |
124 | 119, 120,
123 | 3eqtr4g 2669 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)))) |
125 | 102, 124 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)))) |
126 | | ovres 6698 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼))) |
127 | 115, 62, 126 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼))) |
128 | | ovres 6698 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼))) |
129 | 115, 62, 128 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼))) |
130 | | ovres 6698 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) |
131 | 115, 62, 130 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) |
132 | 129, 131 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = ((𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))) |
133 | 125, 127,
132 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) = ((𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))) |
134 | 83 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)) |
135 | 134, 60, 62 | fovrnd 6704 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) |
136 | 64, 65 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼))) |
137 | 25, 136 | gsumsn 18177 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((mulGrp‘𝑅)
∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈
𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼))) |
138 | 58, 60, 135, 137 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼))) |
139 | 68, 74 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))) |
140 | 133, 138,
139 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) |
141 | 140 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) |
142 | 99, 141 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) |
143 | 25, 91, 31, 32, 42, 93, 98 | gsummptfidmsplit 18153 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) |
144 | | mdetrlin.ne1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))) |
145 | 144 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))) |
146 | 145 | oveqd 6566 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟))) |
147 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) |
148 | 79, 41 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) |
149 | | ovres 6698 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))) |
150 | 147, 148,
149 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))) |
151 | | ovres 6698 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))) |
152 | 147, 148,
151 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))) |
153 | 146, 150,
152 | 3eqtr3rd 2653 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))) |
154 | 153 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) |
155 | 154 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) |
156 | 155 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) |
157 | 143, 156 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) |
158 | 25, 91, 31, 32, 50, 93, 98 | gsummptfidmsplit 18153 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) |
159 | | mdetrlin.ne2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))) |
160 | 159 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))) |
161 | 160 | oveqd 6566 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟))) |
162 | | ovres 6698 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))) |
163 | 147, 148,
162 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))) |
164 | 161, 150,
163 | 3eqtr3rd 2653 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))) |
165 | 164 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) |
166 | 165 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) |
167 | 166 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) |
168 | 158, 167 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) |
169 | 157, 168 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) |
170 | 90, 142, 169 | 3eqtr4rd 2655 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) |
171 | 170 | oveq2d 6565 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) →
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg
(𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) |
172 | 56, 171 | eqtr3d 2646 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) →
(((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) +
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) |
173 | 172 | mpteq2dva 4672 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
(((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) +
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) |
174 | 9, 173 | syl5eq 2656 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) |
175 | 174 | oveq2d 6565 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))))) |
176 | | ringcmn 18404 |
. . . . 5
⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd) |
177 | 10, 11, 176 | 3syl 18 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd) |
178 | 38, 22 | symgbasfi 17629 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ Fin →
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin) |
179 | 19, 178 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 →
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin) |
180 | 24, 54 | ringcl 18384 |
. . . . 5
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧
(((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅)) |
181 | 13, 28, 44, 180 | syl3anc 1318 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) →
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅)) |
182 | 24, 54 | ringcl 18384 |
. . . . 5
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧
(((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅)) |
183 | 13, 28, 52, 182 | syl3anc 1318 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) →
((((ℤRHom‘𝑅)
∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅)) |
184 | 24, 53, 177, 179, 181, 183, 3, 6 | gsummptfidmadd2 18149 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))) |
185 | 175, 184 | eqtr3d 2646 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))) |
186 | | mdetrlin.d |
. . . 4
⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅) |
187 | | eqid 2610 |
. . . 4
⊢
(ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅) |
188 | | eqid 2610 |
. . . 4
⊢
(pmSgn‘𝑁) =
(pmSgn‘𝑁) |
189 | 186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23 | mdetleib2 20213 |
. . 3
⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))))) |
190 | 10, 80, 189 | syl2anc 691 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))))) |
191 | 186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23 | mdetleib2 20213 |
. . . 4
⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))))) |
192 | 10, 14, 191 | syl2anc 691 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))))) |
193 | 186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23 | mdetleib2 20213 |
. . . 4
⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) |
194 | 10, 45, 193 | syl2anc 691 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) |
195 | 192, 194 | oveq12d 6567 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑌) + (𝐷‘𝑍)) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈
(Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))) |
196 | 185, 190,
195 | 3eqtr4d 2654 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = ((𝐷‘𝑌) + (𝐷‘𝑍))) |