HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayete3i 27971
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a 𝐴C
mayete3.b 𝐵C
mayete3.c 𝐶C
mayete3.d 𝐷C
mayete3.f 𝐹C
mayete3.g 𝐺C
mayete3.ac 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayete3.af 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.cf 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.ab 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayete3.cd 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayete3.fg 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayete3.x 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
mayete3.y 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
mayete3.z 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayete3i (𝑋𝑌) ⊆ 𝑍

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3758 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑌))
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴C
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶C
42, 3chjcli 27700 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐶) ∈ C
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹C
64, 5chjcli 27700 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∈ C
76cheli 27473 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℋ)
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
97, 8eleq2s 2706 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝑥 ∈ ℋ)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑋𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
111, 10sylbi 206 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
12 ax-hvmulid 27247 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
13 2cn 10968 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
14 2ne0 10990 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
15 recid2 10579 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((1 / 2) · 2) = 1)
1613, 14, 15mp2an 704 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · 2) = 1
1716oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = (1 · 𝑥)
18 halfcn 11124 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
19 ax-hvmulass 27248 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2018, 13, 19mp3an12 1406 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2117, 20syl5eqr 2658 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2212, 21eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
24 hv2times 27302 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (2 · 𝑥) = (𝑥 + 𝑥))
2524oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥))
27 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2827sseli 3564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥𝑌)
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
3029elin2 3763 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 𝐺)))
31 elin 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 𝐷)))
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵C
342, 33pjdsi 27955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → 𝑥 = (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)))
3532, 34mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑥 = (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)))
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷C
383, 37pjdsi 27955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝐶 𝐷) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)) → 𝑥 = (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)))
3936, 38mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐶 𝐷) → 𝑥 = (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)))
4035, 39oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
4131, 40sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
42 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)
4342sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴 𝐵))
442, 33chjcli 27700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐵) ∈ C
4544cheli 27473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
462pjhcli 27661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ)
4733pjhcli 27661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ)
483pjhcli 27661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ)
4937pjhcli 27661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)
50 hvadd4 27277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ) ∧ (((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5341, 52eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺C
565, 55pjdsi 27955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝐹 𝐺) ∧ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)) → 𝑥 = (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
5754, 56mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐹 𝐺) → 𝑥 = (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
5853, 57oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 𝐺)) → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
5930, 58sylbi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑌 → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
61 hvaddcl 27253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
6246, 48, 61syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
63 hvaddcl 27253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
6447, 49, 63syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
655pjhcli 27661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ)
6655pjhcli 27661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
67 hvadd4 27277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ) ∧ (((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)) → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
7026, 60, 693eqtrd 2648 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
71 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
7271sseli 3564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥𝑋)
7372, 8syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
772, 3, 5pjds3i 27956 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) ∧ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹))) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
7875, 76, 77mpanr12 717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
7973, 74, 78sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
8070, 79oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))))
81 hvmulcl 27254 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (2 · 𝑥) ∈ ℋ)
8213, 81mpan 702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (2 · 𝑥) ∈ ℋ)
83 hvpncan 27280 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8482, 83mpancom 700 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8680, 85eqtr3d 2646 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = (2 · 𝑥))
87 hvaddcl 27253 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
8862, 65, 87syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
89 hvaddcl 27253 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
9064, 66, 89syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
91 hvpncan2 27281 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9288, 90, 91syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9486, 93eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (2 · 𝑥) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9533pjcli 27660 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵)
9637pjcli 27660 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷)
9733chshii 27468 . . . . . . . . . . . 12 𝐵S
9837chshii 27468 . . . . . . . . . . . 12 𝐷S
9997, 98shsvai 27607 . . . . . . . . . . 11 ((((proj𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷) → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷))
10095, 96, 99syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷))
10155pjcli 27660 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
10297, 98shscli 27560 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 + 𝐷) ∈ S
10355chshii 27468 . . . . . . . . . . 11 𝐺S
104102, 103shsvai 27607 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷) ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
105100, 101, 104syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
10794, 106eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
108102, 103shscli 27560 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ∈ S
109 shmulcl 27459 . . . . . . . 8 ((((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ∈ S ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺)) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
110108, 18, 109mp3an12 1406 . . . . . . 7 ((2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
111107, 110syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
11223, 111eqeltrd 2688 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
113112ssriv 3572 . . . 4 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺)
11433, 37chsleji 27701 . . . . 5 (𝐵 + 𝐷) ⊆ (𝐵 𝐷)
11533, 37chjcli 27700 . . . . . . 7 (𝐵 𝐷) ∈ C
116115chshii 27468 . . . . . 6 (𝐵 𝐷) ∈ S
117102, 116, 103shlessi 27620 . . . . 5 ((𝐵 + 𝐷) ⊆ (𝐵 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺))
118114, 117ax-mp 5 . . . 4 ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺)
119113, 118sstri 3577 . . 3 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺)
120115, 55chsleji 27701 . . 3 ((𝐵 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
121119, 120sstri 3577 . 2 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
122 mayete3.z . 2 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
123121, 122sseqtr4i 3601 1 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cin 3539  wss 3540  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  2c2 10947  chil 27160   + cva 27161   · csm 27162   cmv 27166   S csh 27169   C cch 27170  cort 27171   + cph 27172   chj 27174  projcpjh 27178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-shs 27551  df-chj 27553  df-pjh 27638
This theorem is referenced by:  mayetes3i  27972
  Copyright terms: Public domain W3C validator