Theorem ltrncnvnid 34431

Description: If a translation is different from the identity, so is its converse. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvnid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ltrncnvnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1056	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2		ltrn1o.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		ltrn1o.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrn1o.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrn1o 34428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
6	5	3adant3 1074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
7		f1orel 6053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → Rel 𝐹)
9		dfrel2 5502	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	8, 9	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
11		cnveq 5218	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ◡◡𝐹 = ◡( I ↾ 𝐵))
12	10, 11	sylan9req 2665	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ◡( I ↾ 𝐵))
13		cnvresid 5882	. . . . 5 ⊢ ◡( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
14	12, 13	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
15	14	ex 449	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
16	15	necon3d 2803	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17	1, 16	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   I cid 4948  ^◡ccnv 5037   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409

This theorem is referenced by:  cdlemh2  35122  cdlemh  35123  cdlemkfid1N  35227