Theorem ltexprlem7 9743

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem7	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem7

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
2	1	ltexprlem5 9741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐶 ∈ P)
3		ltaddpr 9735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐶))
4		addclpr 9719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐶) ∈ P)
5		ltprord 9731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
6	4, 5	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
7	3, 6	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶))
8	7	pssssd 3666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
9	8	sseld 3567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
10	9	2a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
11	10	com4r 92	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
12	11	expd 451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
13		prnmadd 9698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)
14	13	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
15		elprnq 9692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q)
16		addnqf 9649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
17	16	fdmi 5965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
18		0nnq 9625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
19	17, 18	ndmovrcl 6718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q → (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
21	20	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ Q)
22		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑣 ∈ V
23	22	prlem934 9734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
25		prub 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q 𝑤))
26		ltexnq 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
28	25, 27	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
29	28	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
30	29	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
31		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑧 ∈ V
32		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑥 ∈ V
33		addcomnq 9652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓)
34		addassnq 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ℎ))
35	31, 22, 32, 33, 34	caov32 6759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣)
36		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣) = (𝑤 +Q 𝑣))
37	35, 36	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = (𝑤 +Q 𝑣))
38	37	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → (((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
39	38	biimpar 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
40		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ V
41		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
42	41	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
43		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥))
44	43	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
45	42, 44	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
46	40, 45	spcev 3273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
47	1	abeq2i 2722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
48	46, 47	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶)
49	39, 48	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
50		df-plp 9684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ +P = (𝑥 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑧 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑥 ∃𝑣 ∈ 𝑤 𝑧 = (𝑓 +Q 𝑣)})
51		addclnq 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑓 +Q 𝑣) ∈ Q)
52	50, 51	genpprecl 9702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
53	49, 52	sylan2i 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
54	53	exp4d 635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 → (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
55	54	imp42 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶))
56		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
57	56	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
58	55, 57	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))
59	58	exp32 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
60	59	exlimdv 1848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
61	30, 60	syl6d 73	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
62	24, 61	rexlimddv 3017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
63	62	com14 94	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
65	21, 64	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
66	65	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
67	66	exlimdv 1848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
68	14, 67	syld 46	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
69	68	com4t 91	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
70	69	expd 451	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
71	12, 70	pm2.61i 175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
72	2, 71	syl5 33	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
73	72	expd 451	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
74	73	com34 89	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
75	74	pm2.43d 51	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
76	75	imp31 447	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
77	76	ssrdv 3574	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541   class class class wbr 4583   × cxp 5036  (class class class)co 6549  Qcnq 9553   +_Q cplq 9556   <_Q cltq 9559  Pcnp 9560   +_P cpp 9562  <_P cltp 9564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-rq 9618  df-ltnq 9619  df-np 9682  df-plp 9684  df-ltp 9686

This theorem is referenced by:  ltexpri  9744